정적분 문제를 하나 보도록 하겠습니다. 못푸시더라도 상관없습니다. 어차피 제가 풀어줄거니까요. 이 문제는 분자를 인수분해 하면 분모와 약분되어 새로운 피적분함수를 구한 후정적분을 이용해 값을 찾습니다. 그런데 조금 이상한 점 못느끼셨나요? 이 두 함수는 같은함수인가요? 왼쪽식의 피적분함수는 분모가 0일 때 정의되지 않는 불연속함수지만 오른쪽은 연속함수입니다. 비슷하지만 같지는 않은 함수입니다. 그런데 제 맘대로 이렇게 적분을 해도 되는걸까요? 결론부터 말하면 괜찮습니다. (고등학교 교육과정에서는 적분구간에 불연속점이 포함된 예시를 최대한 피하려고 합니다. ) 저번에 알아본 입실론-델타로 논법으로 리만 적분을 정의하면 (함수가 유계일 때) 한 점을제외해도 적분값에 영향을 미치지 않는다는 사실을 어렵지 않게..

모든 점에서 미분 불가능한 연속함수가 있을까요? 연속은 쉽게 생각하면 이어져있는 함수입니다. 미분이 가능한 함수는 쉽게 생각하면 부드러운 함수입니다. 여러분들이 아무리 그래프를 들쭉날쭉그려도 확대해보면 조금은 부드러운 즉 미분 가능하므로 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능할 수는 없을 것 같은데 함수를 다음과 같이 정의하면 Sum 1/2^n cos(3^nπx) n이 커짐에 따라 그래프는 점점 들쭉날쭉해지게 됩니다. 이 함수열급수로 생기는 극한함수는 아무리 확대해보아도 모든 값에서 미분이 불가능하게 됩니다. 끊어지지 않을만큼 충분히 뾰족해지는거죠. 참 쉽죠? 연속과 미분가능성에 대해 제가 영상에 사용한 표현에 대해 불편함을 느끼시는 분들이 많으실 것이라 예상합니다. 연속성은 그래프가 이어져 있는 것을 의미..

우리가 학교 수학에서 배우는 방정식들은 대개 정수를 계수로 갖는 다항식들입니다. 그리고 이런류의 방정식의 근을찾는 문제가 나온다면 일반적으로 인수분해를 통해 근을 찾게 되죠. 이 채널을 보시는 분들은 너무나 많은 인수분해 문제를 풀어보셨을거라 익숙하게 x자 권법을 써서 암산으로 인수분해한 후 근을 찾으셨을 것입니다. 반면에 근이 잘 보이지 않는 방정식이 나온다면 어떻게 할까요? 귀찮겠지만 중학교 때주구장창 외웠던 근의 공식을 사용해서 끝끝내 근을 찾으실 것입니다. 삼차이상의 방정식는 어떻게 할까요? 삼차, 사차까지는 일반적인 근의 공식이 있습니다. 하지만 교육과정에서는 배우지 않고, 배워서 써먹는다 해도 너무 어렵습니다. 그래서 우리는 일반적으로 근이 될 것 같은 수들 가져와서 이용해 조립제법을 사용합니..

루이스 전자점식과 전자쌍 반발원리에 따르면 메테인(CH4) 분자는 탄소 원자를 중심으로 네 개의 수소 원자가 정사면체를 이룹니다. 그리고 책에서 메테인의 결합각은 109.5도라고 배우죠. 왜 그런지 알아보면 중심의 탄소원자를 기준으로 각 원자들 사이의 힘을 벡터로 두었을 때 벡터의 합은 평형을 이루고 각 벡터의 크기는 같으므로 두 벡터가 이루는 각의 크기를 θ로 두고 내적공식을 응용하면 cosθ=-1/3임을 얻을 수 있습니다. 따라서 둔각인 이 각을 재거나 코사인의 역함수를 이용하면 정확한 θ의 값을 찾을 수 있습니다. 참 쉽죠? 결합각(結合角, bond angle)은 화학 결합의 각도로, 분자기하의 주요 구성 요소입니다. 결합각은 분자 내의 원자의 크기나 배향, 혼성 오비탈에 따라 다릅니다. 벤트 규칙..

You know what’s cooler than magic? Math. 스파이더맨 보셨나요? 저는 거미 광팬이라 거의 울다시피하면서 봤는데요. 영화를 보던 중 기하학을 이용하여 닥스와 투닥이는 장면을 보며 여러분들 조금 궁금해하실 수도 있어 수학적으로 자세히 설명해 드리고자 합니다. 영화를 보면 미러디멘션에서 스파이더맨이 아르키메데스의 나선을 보며 반지름을 계산해 닥스를 묶는 장면이 나옵니다. 아르키메데스의 나선이 뭐길래 스파이더맨은 눈을 반짝였을까요? 아르키메데스의 나선은 중심으로부터의 거리가 회전각에 비례하여 커지는 나선을 의미합니다. 기원전 3세기의 수학자인 아르키메데스의 이름을 딴 나선이죠. 이렇게 설명하면 이해가 안되기에 그림을 통해 차근차근 보도록하겠습니다. 아르키메데스의 나선은 다음 그림처..

임의의 자연수를 하나 가져옵니다. 짝수라면 2로 나누고 홀수라면 3을 곱하고 1을 더합니다. 만약 그 수가 1이 되면 멈추고, 아니라면 위 과정을 반복합니다. 이 과정을 반복하면 항상 마지막 수는 1이 나오게 됩니다. 컴퓨터로 2^68까지의 자연수를 확인해본 결과 성립했지만 아직 모든 자연수에 대해 성립하는지 증명은 되지 않았습니다. 한 번 도전해보시겠습니까? 콜라츠 추측(Collatz conjecture)은 1937년에 처음으로 이 추측을 제기한 로타르 콜라츠의 이름을 딴 것으로 3n+1 추측, 울람 추측, 혹은 헤일스톤(우박) 수열 등 여러 이름으로 불립니다. 생각을 바꾸어보면 1부터 출발해 콜라츠 추측의 역과정을 진행하며 수형도를 만들어보았을 때 모든 자연수가 나오는지 확인해보는 방법도 있습니다. ..