소개때때로 수학자들은 문제를 정면으로 다루려고 노력하기도 하고, 때로는 옆으로 접근하기도 합니다. 이는 Clay Mathematics Institute에서 100만 달러의 보상을 제공하는 Riemann 가설과 같이 수학적 위험이 높을 때 특히 그렇습니다. 그 증명은 수학자에게 소수가 어떻게 분포되는지에 대해 훨씬 더 깊은 확신을 주는 동시에 수많은 다른 결과를 암시하므로 수학에서 가장 중요한 공개 질문이 될 것입니다.수학자들은 리만 가설을 증명하는 방법을 모릅니다. 그러나 가능한 예외의 수가 제한되어 있음을 보여주는 것만으로도 여전히 유용한 결과를 얻을 수 있습니다. “많은 경우에 그것은 리만 가설만큼 좋을 수 있습니다.” 옥스포드 대학교. "우리는 이것으로부터 소수에 대해 비슷한 결과를 얻을 수 있습니..

결정문제'결정 문제'란 모든 수학적 명제에 대해 참인지 거짓인지를 유한 시간내에 판별할 수 있는 일반적인 절차, 즉 알고리즘이 존재하는지를 묻는 것이었습니다. 이 문제를 처음 제기한 힐베르트는 이러한 알고리즘이 존재할 것이라 기대했습니다. 1920년대에는 수학적 엄밀성에 대한 열정이 고조되어 있었고, 수학적 진리를 탐구하는 강력한 체계들이 속속 등장하고 있었기 때문입니다. 힐베르트는 수학이 충분히 강력하다면, 모든 문제에 대해 확실한 답을 구할 수 있을 것이라 보았던 것입니다.하지만 10년이 채 지나지 않은 1936년, 영국의 젊은 수학자 앨런 튜링은 '계산 가능한 수와 결정 문제에 관한 적용에 관하여'라는 논문을 통해 모든 수학적 명제를 증명하거나 반증할 수 있는 하나의 보편적인 절차, 즉 알고리즘이 ..

정지 문제란 무엇인가?처음 프로그래밍을 할 때, 누구나 한 번쯤은 프로그램을 작성한 후 예상치 않게 컴퓨터가 멈추거나, 프로그램이 끝없이 실행되는 상황을 경험했을 것입니다. 여러분이 고심 끝에 작성한 코드가 실행되길 기대했는데, 프로그램이 멈추지 않고 계속해서 실행된다면 어떤 기분이 들까요? 심지어 이 프로그램이 여러분의 컴퓨터 자원을 모두 소모해 다른 작업도 방해한다면 단순히 불편함을 넘어서, 시스템 성능에 큰 문제를 일으킬 수 있습니다. 그러므로 프로그램을 작성할 때, 프로그램이 주어진 입력값에 대해 반드시 종료 될지(정지 문제), 혹은 계속해서 실행 될지(무한 실행 문제)를 미리 판별하는 것이 매우 중요합니다. 프로그램의 정지 여부를 미리 판단할 수 있다면, 예상치 못한 오류를 줄이고, 시스템의 안..

모집단과 표본통계 조사에서 조사하고자 하는 대상 전체를 모집단이라 하며, 모집단 전체를 조사하는 것을 전수조사라고 합니다.모집단에서 뽑은 일부를 표본이라 하고, 표본을 뽑아 조사하는 것을 표본조사라고 합니다. 또한, 표본조사에서 뽑은 표본의 개수를 표본의 크기라고 합니다.모집단에 속하는 각 대상이 같은 확률로 추출되도록 표본을 추출하는 방법을 임의추출이라 합니다. 한 개의 자료를 뽑은 후 다시 넣고 반복하여 뽑는 것을 복원추출이라 하며, 넣지 않고 뽑는 것을 비복원추출이라 합니다.모평균과 표본평균모집단에서 조사하고자 하는 특성을 나타내는 확률변수를 $X$라 할 때, $X$의 평균, 분산, 표준편차를 각각 모평균, 모분산, 모표준편차라 하고, 이를 기호로 다음과 같이 나타냅니다.$$m, , \sigma^2..

연속확률변수와 확률밀도함수어떤 범위에 속하는 모든 실수의 값을 가질 수 있는 확률변수를 연속확률변수라고 합니다. $a \leq X \leq b$에서 모든 실수의 값을 가지는 연속확률변수 $X$에 대해 정의된 함수 $f(x)$가 아래 세 가지 조건을 만족하면 이를 확률밀도함수라 합니다.$f(x) \geq 0$$y = f(x)$의 그래프와 $x$-축 및 두 직선 $x = a$, $x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 1입니다.$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$특정 구간에서의 확률은 다음과 같이 계산됩니다.$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$$정규분포실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 아래 식으로 ..

이산확률변수와 확률질량함수확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, 이 확률변수를 이산확률변수라고 합니다.이산확률변수 가 가질 수 있는 모든 값 에 각각 대응하는 확률을 나타내는 함수를 이산확률변수 $X$의 확률질량함수라고 합니다.$$P(X = x_i) = p_i \quad (i = 1, 2, 3, \dots, n)$$확률질량함수의 성질확률은 항상 $0$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. $0 \leq p_i \leq 1$확률의 총합은 항상 1입니다: $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$이산확률변수의 기댓값(평균)확률질량함수 $P(X = x_i) = p_i$일 때, 확률변수 $X$의 기댓값 또는 평균은 다음과 같이 정의 됩니다. $E(X)$의 $E$는..