1. 서론: 확신을 설계하다현대 산업 사회와 기술 문명을 지탱하는 보이지 않는 기둥은 '불확실성의 관리'에 있다. 우리가 매일 사용하는 스마트폰의 통신 연결부터, 대양을 횡단하는 항공기의 안전성, 법정에서의 유죄 판결, 그리고 인터넷 쇼핑몰의 추천 알고리즘에 이르기까지, 모든 시스템은 본질적으로 확률적이다. 이러한 시스템들이 사용자에게 '확실성'이라는 경험을 제공할 수 있는 이유는 자연적인 완벽함 때문이 아니라, 치밀하게 계산된 조건부 확률(Conditional Probability) 의 논리와 확률적 중복성(Stochastic Redundancy) 의 공학적 설계 덕분이다.의료 진단 분야에서 조건부 확률(예: 특정 검사가 양성일 때 실제 질병이 있을 확률)은 널리 알려진 개념이지만, 이 수학적 원리는 ..

1. 서론: 이분법적 확신의 환상과 통계적 실재현대 의학에서 진단 검사는 종종 질병의 유무를 판가름하는 절대적인 척도로 여겨진다. 환자들은 병원을 찾아 혈액을 채취하거나, 영상을 촬영하고, 조직을 검사받은 뒤 "양성(Positive)" 혹은 "음성(Negative)"이라는 결과를 기다린다. 대중의 인식 속에서 이 결과는 확정적인 진실로 받아들여진다. 양성은 곧 질병의 존재를 의미하고, 음성은 건강함을 의미한다고 믿는 것이다. 그러나 이러한 이분법적 사고는 진단 검사가 가진 본질적인 통계적 불확실성을 간과한 결과이다. 모든 의학적 진단은 100%의 정확도를 가질 수 없으며, 생물학적 변동성과 기술적 한계로 인해 필연적으로 오류의 가능성을 내포하고 있다.본 보고서의 핵심 주제는 위양성률(False Posit..

알렉산드리아의 Heron 또는 Hero는 증기 터빈을 포함한 많은 기계를 발명한 중요한 기하학자이자 역학 연구자였다. 그의 가장 잘 알려진 수학 업적은 삼각형의 변의 길이로 넓이를 구하는 공식이다.출생: 약 AD 10년 (추정) 이집트 알렉산드리아사망: 약 AD 75년요약: 알렉산드리아의 Heron 또는 Hero는 증기 터빈을 포함한 많은 기계를 발명한 중요한 기하학자이자 역학 연구자였다. 그의 가장 잘 알려진 수학 업적은 삼각형의 변의 길이로 넓이를 구하는 공식이다.Heron 또는 알렉산드리아의 Hero는 증기 터빈을 포함한 많은 기계를 발명한 중요한 기하학자이자 역학 연구자였다. 그의 가장 잘 알려진 수학 업적은 삼각형의 변의 길이로 넓이를 구하는 공식이다.전기때때로 Hero라고도 불리는 알렉산드리아..

그리피스 쌍둥이 원뿔이 축약 가능하지 않은 이유는 자명하지 않은(non-trivial) 기본군(fundamental group)을 가지기 때문이다.공간의 축약 가능성(contractibility)과 기본군의 관계를 먼저 이해하면 명확해진다.축약 가능성과 기본군의 관계어떤 위상 공간이 축약 가능하다(contractible) 는 것은 그 공간을 연속적으로 변형하여 하나의 점으로 만들 수 있다는 의미이다.수학적으로, 공간 $X$가 축약 가능할 필요충분조건은 $X$의 항등 함수(identity map)가 상수 함수(constant map)와 호모토픽(homotopic)한 것이다.축약 가능한 공간의 중요한 성질은 모든 호모토피 군이 자명하다는 점이다. 특히, 기본군 $\pi_1(X)$은 원소 하나짜리인 자명군(t..

T1 공간 (프레셰 공간, Fréchet Space)T1 공간은 서로 다른 두 점이 있을 때, 각각의 점은 포함하고 다른 점은 포함하지 않는 열린 집합이 존재하는 공간을 말한다. 이는 모든 한원소집합(singleton set)이 닫힌집합이라는 조건과 동치이다.정리: 위상공간 $X$와 몫사상 $q: X \to Y$에 대해, 몫공간 $Y$가 T1 공간일 필요충분조건은 $X$의 모든 동치류(equivalence class)가 $X$에서 닫힌집합인 것이다.증명 아이디어:($\Rightarrow$) $Y$가 T1 공간이라고 가정하자.T1 공간의 정의에 따라, $Y$의 모든 한원소집합 ${y}$는 닫힌집합이다.몫사상 $q$는 연속함수이므로, 닫힌집합의 원상(preimage)은 닫힌집합이다.따라서 $q^{-1}({y..

역사적 기원: 물리적 필요성과 쿼터니언(Quaternion)외적의 직접적인 조상은 윌리엄 로언 해밀턴이 1843년에 발명한 쿼터니언(사원수) 입니다. 쿼터니언은 3차원 공간에서의 회전을 간결하게 기술하기 위해 만들어진 수 체계입니다.쿼터니언은 하나의 스칼라(실수) 부분과 세 개의 벡터(허수) 부분으로 이루어집니다 ($w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$). 해밀턴은 두 개의 '순수 벡터' 쿼터니언(스칼라 부분이 0인 경우)을 곱했을 때 매우 흥미로운 결과가 나온다는 것을 발견했습니다.두 벡터 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ 와 $\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)$ 를 쿼터니언으로 간주하고 곱하면($\mathbf{v}\ma..