벡터 공간 $V$ 가 있을 때, 그 위에서 정의된 모든 선형 함수(즉, 선형 사상 $V\to \mathbb{F}$, 여기서 $\mathbb{F}$ 는 체)를 모아놓은 공간을 쌍대 공간(dual space) 이라고 합니다. 이를 $V^{\ast }$ 로 나타냅니다.즉,$$V^{\ast }=f:V\to \mathbb{F}\mid f\text{는 선형 변환}$$입니다.왜 배우는가?쌍대 공간은 벡터 공간을 더 깊이 이해하고, 다양한 수학 및 응용 분야에서 필수적인 개념이기 때문입니다.벡터 공간의 구조를 더 잘 이해할 수 있음벡터 공간을 함수적 관점에서 바라보는 것은 기하학적, 대수적 연구에서 중요한 통찰을 제공합니다.예를 들어, 내적 공간에서는 벡터를 하나의 점이 아니라 "다른 벡터를 평가하는 함수"로도 생각할..

직선 $y=mx$에 대한 대칭 변환과 사영 변환을 찾고자 합니다. 일반적인 표준기저에서 해당 식을 찾는 과정은 복잡하므로, 새로운 기저를 이용해 다시 표준변환하는 과정을 설명해보겠습니다.개념정리$T$를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 선형 연산자라고 하고, $\beta$와 ${\beta }^{\prime }$를 $V$의 순서 있는 기저라고 하자. $Q$를 ${\beta }^{\prime }$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 기저 변환 행렬이라고 가정하면, 다음이 성립한다.$$[T{]}_{{\beta }^{\prime }}=Q^{-1}[T{]}_{\beta }Q$$$T$의 표준기저 표현을 찾는 것은 어려우므로, 새로운 기저 ${\beta }^{\prime }$를 선택하여 $T$를 표현하고자 합니다.새로운 기저의 구성대칭 변환을 쉽게 표현하기 위해, 직선 $y=mx$에 평행한 벡..

유한 차원에서 $T=L_A$유한 차원 벡터 공간 $V$와 $W$에서, $T:V\to W$가 선형 변환이라고 가정합니다. 이 경우:표준 기저 선택:$V$의 표준 기저를 $v_1,v_2,\dots ,v_n$,$W$의 표준 기저를 $w_1,w_2,\dots ,w_m$로 설정합니다.행렬 $A$의 정의:$T(v_j)$를 $W$의 기저를 이용하여 표현하면:$$T(v_j)=\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i,$$여기서 계수 $a_{ij}$는 $m\times n$ 행렬 $A=[a_{ij}]$의 성분이 됩니다.행렬 표현:$$T(x)=Ax,$$여기서 $x\in V$를 기저에 대한 좌표 벡터로 표현하면, $T$는 행렬 $A$에 의해 완전히 나타낼 수 있습니다. 이는 $T = L_..

Online Linear Algebra Applications Online Linear Algebra ApplicationsThe Leslie Matrix and Population Change The population of a colony of animals depends on the birth and mortality rates for the various age groups of the colony. For example, suppose that the members of a colony of mammals have a life span of less than 3 yemedia.pearsoncmg.comLeslie 행렬과 인구 변화동물 집단의 개체 수는 집단 내 각 연령대의 출생률과 사망률에 따라..

1. 선형변환의 본질선형변환(linear transformation)은 벡터 공간 $V$에서 벡터 공간 $W$로의 함수 $T:V\to W$로 정의되며, 다음 두 가지를 만족합니다:$T(u+v)=T(u)+T(v)$ (벡터 덧셈의 보존)$T(cu)=cT(u)$ (스칼라 곱의 보존)이 두 조건은 선형변환이 직선성과 비율 관계를 유지한다는 것을 의미합니다. 따라서 선형변환은 기하학적으로도 간결하게 표현할 수 있습니다.2. 기하학적 관점에서 선형변환 이해하기선형변환의 가장 직관적인 방법은 이를 벡터의 이동과 격자의 변형으로 시각화하는 것입니다.(1) 2차원에서의 변환${\mathbb{R}}^2$ 공간에서 선형변환 $T$는 원점을 고정한 상태에서 벡터들을 늘리거나, 줄이거나, 회전하거나, 반사하는 등..

증명 개요실수 집합 $\mathbb{R}$을 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터 공간으로 간주할 때, 만약 이 벡터 공간이 유한 차원이라면 모든 실수가 유리수 계수 다항식의 근 즉, algebraic 한 수여야 합니다.그러나 $\mathbb{R}$에는 transcendental 인 수가 존재하므로 모순이 발생하여, $\mathbb{R}$은 무한 차원임을 증명할 수 있습니다.1. 유한 차원 벡터 공간의 가정가정: $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원 벡터 공간이라고 가정합니다.그렇다면 유한 개의 기저 $v_1,v_2,\dots ,v_n$가 존재하여, 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$는 다음과 같이 표현됩니다:$$\alpha = q_1 v_1 ..