선형변환을 직관적으로 파악할 수 있는 방법

1. 선형변환의 본질

선형변환(linear transformation)은 벡터 공간 $V$에서 벡터 공간 $W$로의 함수 $T: V \to W$로 정의되며, 다음 두 가지를 만족합니다:

1. $T(u + v) = T(u) + T(v)$ (벡터 덧셈의 보존)
2. $T(cu) = cT(u)$ (스칼라 곱의 보존)

이 두 조건은 선형변환이 직선성과 비율 관계를 유지한다는 것을 의미합니다. 따라서 선형변환은 기하학적으로도 간결하게 표현할 수 있습니다.

2. 기하학적 관점에서 선형변환 이해하기

선형변환의 가장 직관적인 방법은 이를 벡터의 이동과 격자의 변형으로 시각화하는 것입니다.

(1) 2차원에서의 변환

• $\mathbb{R}^2$ 공간에서 선형변환 $T$는 원점을 고정한 상태에서 벡터들을 늘리거나, 줄이거나, 회전하거나, 반사하는 등의 효과를 가집니다.
• 예를 들어, 다음 행렬 변환을 시각화합니다:
  $$
  A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
  $$
  이 변환은 $x$-축 방향으로 2배 확대하고, $y$-축 방향은 그대로 유지합니다. 격자가 $x$-축 방향으로 늘어나며 변형되는 모습을 떠올릴 수 있습니다.

(2) 3차원에서의 변환

• $\mathbb{R}^3$ 공간에서 선형변환은 벡터를 회전하거나 특정 축에 대해 반사시키거나, 평면으로 압축하는 형태로 작용합니다.
• 예를 들어, $T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$에서 다음과 같은 변환 행렬을 사용합니다:
  $$
  A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
  $$
  이 변환은 $\mathbb{R}^3$ 공간을 $xy$-평면으로 압축하는 것으로 이해할 수 있습니다.

3. 기저와 행렬 표현으로 이해하기

모든 선형변환은 행렬로 표현되며, 행렬의 각 열은 변환된 표준 기저 벡터를 나타냅니다.

(1) 표준 기저 관찰

• $\mathbb{R}^2$에서 표준 기저 $\mathbf{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$를 변환한 결과를 분석하면 선형변환의 전체적인 효과를 알 수 있습니다.
• 예를 들어, $T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$에서:
  $$
  A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
  $$
  표준 기저 벡터의 변환은:
  $$
  T(\mathbf{i}) = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad
  T(\mathbf{j}) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}.
  $$
  이를 통해 $T$가 벡터를 $\mathbb{R}^2$ 공간에서 어떻게 변형시키는지 알 수 있습니다.

(2) 선형결합 유지

• 선형변환은 기저 벡터의 선형결합 형태를 유지합니다. 이는 변환 후에도 벡터 간의 선형적 관계가 유지된다는 뜻입니다.

4. 선형변환의 특수한 사례

다음과 같은 선형변환의 특수한 사례를 분석하면 직관적으로 이해하기 쉽습니다:

• 확대/축소 (Scaling): 행렬 $\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$는 $k$-배 확대 또는 축소를 나타냅니다.
• 회전 (Rotation): 회전 행렬 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$는 각도 $\theta$만큼 회전시킵니다.
• 반사 (Reflection): $y = x$ 축에 대한 반사는 행렬 $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$로 표현됩니다.

5. 직관을 기르기 위한 연습 요령

• 격자(Grid) 변형 관찰: $\mathbb{R}^2$에서 변환 전후의 격자를 비교하여 변환의 성질을 이해합니다.
• 벡터의 이동 경로 분석: 특정 벡터가 어떻게 이동하는지를 추적합니다.
• 특수한 벡터 관찰: 원점, 축 방향 벡터, 대각선 방향 벡터의 변화를 관찰합니다.

6. 랭크 테스트 (Rank Test)

선형변환은 행렬 $A$로 표현되며, 행렬의 랭크(rank)는 선형변환의 본질적 차원을 나타냅니다.

(1) 활용 방법

• 변환 행렬 $A$의 랭크를 계산하여 변환의 전사성(onto) 또는 단사성(one-to-one)을 판단합니다.
• $\text{rank}(A) = \min(\text{행 개수}, \text{열 개수})$일 때, 선형변환은 전사적이자 단사적입니다.

(2) 예제

1. $T(x, y) = (x + y, x - y)$:
   • 변환 행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
   • $\text{rank}(A) = 2$ → 선형변환.
2. $T(x, y) = (x + y, 0)$:
   • 변환 행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
   • $\text{rank}(A) = 1$ → 차원이 줄어드므로 선형변환이지만 전사적이지 않음.

7. 보존되는 기하학적 성질 확인

선형변환은 다음과 같은 기하학적 성질을 반드시 보존합니다:

1. 원점 보존: $T(0) = 0$
2. 직선 보존: 직선은 직선으로 변환됩니다.
3. 비율 보존: 벡터의 상대적 크기와 방향은 일정한 비율로 유지됩니다.

활용 방법

• 벡터의 비율 또는 직선성의 유지 여부를 확인합니다.
• 예제:
  • $T(x, y) = (x + 1, y)$:
    원점이 $(1, 0)$으로 이동하므로 선형변환이 아님.
  • $T(x, y) = (x^2, y)$:
    $(1, 1)$과 $(2, 2)$ 사이의 직선이 곡선으로 변하므로 선형변환이 아님.
  • $T(x, y) = (2x, 3y)$:
    모든 직선이 직선으로 유지되며, 원점도 보존되므로 선형변환.

8. 함수의 형태를 통한 직관적 판단

(1) 선형변환의 일반적 형태

• 모든 선형변환은 다음과 같은 행렬 표현을 가집니다:
  $$
  T(v) = Av
  $$
  여기서 $A$는 행렬이고, $v$는 입력 벡터입니다.
  • 즉, 선형변환은 항상 벡터의 선형결합으로 표현되며, 상수항이나 비선형 항이 없어야 합니다.
• 판단 요령:
  • 함수에 상수항이 포함되면 선형변환이 아님:
    예: $T(v) = Av + b, \quad b \neq 0$
  • 함수에 비선형 항이 포함되면 선형변환이 아님:
    예: $T(x, y) = (x^2, y)$

9. 고급 기법: 함수 미분 활용

(1) 미분 행렬 (Jacobian Matrix)

• 함수 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$에 대해, 미분 행렬(또는 야코비 행렬, Jacobian matrix) $DT$는 다음과 같이 정의됩니다:
  $$
  DT = \begin{bmatrix}
  \frac{\partial T_1}{\partial x_1} & \frac{\partial T_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial T_1}{\partial x_n} \\
  \frac{\partial T_2}{\partial x_1} & \frac{\partial T_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial T_2}{\partial x_n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \frac{\partial T_m}{\partial x_1} & \frac{\partial T_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial T_m}{\partial x_n}
  \end{bmatrix}
  $$
• $DT$는 함수 $T$의 각 부분 $T_1, T_2, \ldots, T_m$에 대한 편미분 값들로 구성됩니다.
• 만약 $T$가 선형변환이라면, 미분 $DT$는 상수 행렬이며, 이는 $T$가 처음부터 선형변환임을 의미합니다.

(2) 미분을 이용한 선형성 판단

1. 함수 $T(x, y) = (x^2, y)$:
   • 야코비 행렬:
     $$
     DT = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.
     $$
   • $DT$가 $x$에 의존하므로, $T$는 비선형입니다.
2. 함수 $T(x, y) = (2x, 3y)$:
   • 야코비 행렬:
     $$
     DT = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.
     $$
   • $DT$는 상수 행렬이므로, $T$는 선형변환입니다.
3. 함수 $T(x, y) = (x + 1, y)$:
   • 야코비 행렬:
     $$
     DT = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.
     $$
   • 야코비 행렬은 상수이지만, 상수항 $+1$로 인해 $T$는 선형변환이 아닙니다.

(3) 선형 근사로 판단

• 미분 행렬 $DT$를 통해 함수 $T$를 특정 점에서 선형 근사할 수 있습니다.
• 예: $T(x, y) = (x^2, y)$를 $(1, 1)$에서 선형 근사하면:
  $$
  T(x, y) \approx T(1, 1) + DT(1, 1) \cdot \begin{bmatrix} x - 1 \\ y - 1 \end{bmatrix}.
  $$
• 결과적으로 $T(x, y)$는 $(1, 1)$ 근방에서만 선형적일 수 있지만, 전역적으로 선형변환은 아닙니다.