실수 집합 $\mathbb{R}$은 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위에서 무한 차원 벡터 공간인가?

증명 개요

• 실수 집합 $\mathbb{R}$을 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터 공간으로 간주할 때, 만약 이 벡터 공간이 유한 차원이라면 모든 실수가 유리수 계수 다항식의 근 즉, algebraic 한 수여야 합니다.
• 그러나 $\mathbb{R}$에는 transcendental 인 수가 존재하므로 모순이 발생하여, $\mathbb{R}$은 무한 차원임을 증명할 수 있습니다.

1. 유한 차원 벡터 공간의 가정

• 가정: $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원 벡터 공간이라고 가정합니다.
• 그렇다면 유한 개의 기저 ${ v_1, v_2, \dots, v_n }$가 존재하여, 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$는 다음과 같이 표현됩니다:

$$
\alpha = q_1 v_1 + q_2 v_2 + \cdots + q_n v_n \quad (q_i \in \mathbb{Q})
$$

• 이 표현으로 인해 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$가 유한 개의 유리수 계수로 표현되는 algebraic 인 수가 됩니다.

2. $\alpha$가 algebraic 임을 보이는 과정

• 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해, 위와 같이 유한 기저로 표현되면, 다음과 같은 관계가 성립합니다:

$$
q_0 + q_1 \alpha + q_2 \alpha^2 + \cdots + q_n \alpha^n = 0 \quad (q_i \in \mathbb{Q}, , \text{적어도 하나의 } q_i \neq 0)
$$

• 이는 $\alpha$가 유리수 계수의 다항식

$$
p(x) = q_0 + q_1 x + q_2 x^2 + \cdots + q_n x^n
$$

의 해가 됨을 의미하므로, $\alpha$는 algebraic 합니다.

3. 모순: Transcendental 수의 존재

• 실제로 $\mathbb{R}$에는 $\pi$, $e$ 등과 같이 transcendental 인 수가 존재합니다.
• 이들 수는 어떠한 유리수 계수 다항식의 해도 될 수 없으므로, 위의 유한 기저 가정과 모순됩니다.

4. 결론

• 가정에 의해 $\mathbb{R}$의 모든 원소가 algebraic 해야 하는데, 이는 $\mathbb{R}$에 존재하는 transcendental 수와 충돌합니다.
• 따라서 가정이 잘못되었으며, $\mathbb{R}$은 $\mathbb{Q}$ 위에서 무한 차원 벡터 공간임이 증명됩니다.