이산확률변수와 확률질량함수확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, 이 확률변수를 이산확률변수라고 합니다.이산확률변수 가 가질 수 있는 모든 값 에 각각 대응하는 확률을 나타내는 함수를 이산확률변수 $X$의 확률질량함수라고 합니다.$$P(X=x_i)=p_i(i=1,2,3,\dots ,n)$$확률질량함수의 성질확률은 항상 $0$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. $0\le p_i\le 1$확률의 총합은 항상 1입니다: $p_1+p_2+\cdots +p_n=1$이산확률변수의 기댓값(평균)확률질량함수 $P(X=x_i)=p_i$일 때, 확률변수 $X$의 기댓값 또는 평균은 다음과 같이 정의 됩니다. $E(X)$의 $E$는..

조건부 확률확률이 $0$이 아닌 사건 $A$가 일어났다고 가정할 때 사건 $B$가 일어날 확률을 조건부확률이라고 하며, 기호로 $P(B|A)$로 나타냅니다. $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}(\text{단, }P(A)\ne 0)$$확률의 곱셈정리두 사건 $A$, $B$에 대하여 다음이 성립합니다.$$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)(\text{단, }P(A)\ne 0)$$사건의 독립과 종속사건 $A$, $B$에 대하여 사건 $A$가 일어나는 것이 사건 $B$가 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이라고 합니다.$$P(B|A)=P(B)$$ 사건 $A$, $B$가 독립이면 $P(B|A^c) ..

시행과 사건같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라고 합니다.어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간이라고 합니다.표본공간의 부분집합을 사건이라고 합니다.한 개의 원소로 이루어진 사건을 근원사건이라고 합니다.어떤 시행에서 반드시 일어나는 사건을 전사건이라고 합니다.어떤 시행에서 절대로 일어나지 않는 사건을 공사건이라고 합니다.일반적으로 사건과 그 사건을 나타내는 집합은 구별하지 않습니다. 표본공간은 공집합이 아닙니다. 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건합사건 ($A\cup B$): $A$ 또는 $B$가 일어나는 사건.곱사건 ($A\cap B$): $A$와 $B$가 동시에 일어나는 사건.배반사건: $A \cap B = \varnothi..

제가 앞면이 나올 확률이 더 큰 동전을 가져와서 여러분과 게임을 하려합니다.동전 던지기는 기본적으로 앞뒤가 나올 확률이 동등하다는 가정으로 게임을 하게 되는데이러한 동전을 가지고도 공정한 동전 던지기를 할 수 있을까요? 불공평한 동전을 한 번 던진다면 앞면과 뒷면의 확률이 달라 공정한 게임을 하기 어렵습니다. 그러나 두 번을 던진다면 달라집니다. 앞앞과 뒤뒤는 각각 나올 확률이 차이가 나지만앞뒤가 나올 확률과 뒤앞이 나올 확률이 같습니다. 따라서 공정한 동전 던지기를 위해 앞뒤 또는 뒤앞에 베팅에만 베팅을 해보겠습니다. 동전을 두 번 던진 후 둘 다 앞이 나오거나둘 다 뒤가 나온 경우에는 무승부처리하고 다시 게임을 합니다. 그리고 이 두 경우 앞뒤가나오거나 뒤앞이 나오는 경우에만 베팅한다면 공정하지 않은..

동전던지기를 100번 할 때 앞면이 50번이상 55번이하가 나올 확률은 몇일까요? 확률변수 X를 앞면이 나온 횟수라 하면 X는 이항분포 B(100,1/2)를 따릅니다. 고등학교 교육과정에서는 이항분포의 평균과 표준편차를 구해 정규분포로 근사시킨 후 X ~ N(50,5^2) 표준화공식을 이용해 확률을 구합니다. X가 50이상 55번 이하일 확률은 Z가 0이상 1이하일 확률과 같으므로 표준정규분포표에서 z=1.00인 값을 찾아보면 구하고자 하는 확률이 0.3413임을 얻을 수 있습니다. 그런데 이 확률은 정확할까요? 생각해보면 정규분포에서 확률을 구할 때 확률밀도함수를 적분하므로 Z가 0초과 1미만일 확률과 Z가 0이상 1이하일 확률은 같습니다. 이는 X가 50번 초과 55번 미만일 확률과 X가 50번이상 ..

https://youtu.be/U_TwBiZfXqM 임의의 고른 두 자연수가 서로소일 확률을 구할 수 있을까요? 두 자연수가 서로소일 확률을 p라 하겠습니다. 두 자연수 a,b의 최대공약수를 d라 하면 a/d와 b/d는 자연수이며 서로소입니다. 이때 a, b가 최대공약수를 가질 확률을 p(d)라 두면 어떤 자연수가 d의 배수일 확률은 1/d이므로, P(d)=1/d * 1/d * P = P/d^2 라 할 수 있습니다. 두 자연수는 항상 최대공약수를 가지므로 확률p(d)의 총합은 1이며 따라서 p는 1/d^2의 합의 역수가 됩니다. sum1/d^2 = pi^2/6이므로 임의의 두 자연수가 서로소일 확률은 6/pi^2 입니다. 참 쉽죠? 같은 방법으로 세 자연수 또는 그 이상의 자연수들이 서로소일 확률도 구할..