제가 앞면이 나올 확률이 더 큰 동전을 가져와서 여러분과 게임을 하려합니다.동전 던지기는 기본적으로 앞뒤가 나올 확률이 동등하다는 가정으로 게임을 하게 되는데이러한 동전을 가지고도 공정한 동전 던지기를 할 수 있을까요? 불공평한 동전을 한 번 던진다면 앞면과 뒷면의 확률이 달라 공정한 게임을 하기 어렵습니다. 그러나 두 번을 던진다면 달라집니다. 앞앞과 뒤뒤는 각각 나올 확률이 차이가 나지만앞뒤가 나올 확률과 뒤앞이 나올 확률이 같습니다. 따라서 공정한 동전 던지기를 위해 앞뒤 또는 뒤앞에 베팅에만 베팅을 해보겠습니다. 동전을 두 번 던진 후 둘 다 앞이 나오거나둘 다 뒤가 나온 경우에는 무승부처리하고 다시 게임을 합니다. 그리고 이 두 경우 앞뒤가나오거나 뒤앞이 나오는 경우에만 베팅한다면 공정하지 않은..

동전던지기를 100번 할 때 앞면이 50번이상 55번이하가 나올 확률은 몇일까요? 확률변수 X를 앞면이 나온 횟수라 하면 X는 이항분포 B(100,1/2)를 따릅니다. 고등학교 교육과정에서는 이항분포의 평균과 표준편차를 구해 정규분포로 근사시킨 후 X ~ N(50,5^2) 표준화공식을 이용해 확률을 구합니다. X가 50이상 55번 이하일 확률은 Z가 0이상 1이하일 확률과 같으므로 표준정규분포표에서 z=1.00인 값을 찾아보면 구하고자 하는 확률이 0.3413임을 얻을 수 있습니다. 그런데 이 확률은 정확할까요? 생각해보면 정규분포에서 확률을 구할 때 확률밀도함수를 적분하므로 Z가 0초과 1미만일 확률과 Z가 0이상 1이하일 확률은 같습니다. 이는 X가 50번 초과 55번 미만일 확률과 X가 50번이상 ..

https://youtu.be/U_TwBiZfXqM 임의의 고른 두 자연수가 서로소일 확률을 구할 수 있을까요? 두 자연수가 서로소일 확률을 p라 하겠습니다. 두 자연수 a,b의 최대공약수를 d라 하면 a/d와 b/d는 자연수이며 서로소입니다. 이때 a, b가 최대공약수를 가질 확률을 p(d)라 두면 어떤 자연수가 d의 배수일 확률은 1/d이므로, P(d)=1/d * 1/d * P = P/d^2 라 할 수 있습니다. 두 자연수는 항상 최대공약수를 가지므로 확률p(d)의 총합은 1이며 따라서 p는 1/d^2의 합의 역수가 됩니다. sum1/d^2 = pi^2/6이므로 임의의 두 자연수가 서로소일 확률은 6/pi^2 입니다. 참 쉽죠? 같은 방법으로 세 자연수 또는 그 이상의 자연수들이 서로소일 확률도 구할..

거짓말은 세 가지로 분류됩니다. 거짓말, 새빨간 거짓말, 그리고 통계 우리는 어떤 판단을 내릴 때 수학적으로 굉장히 합리적으로 결론에 도달한다고 생각하지만 통계의 오류에 빠질 때가 많습니다. 오늘은 우리가 착각하기 쉬운 확률의 오류에 대해알아보도록 하겠습니다. 1. 대표성 전략 먼저 우리는 표본의 크기에 관계 없이 모집단과 유사하길 기대하거나 표본을 추출하는 과정이 무작위성을 반영하기를 기대합니다. 예를 들어 전체 학생의 1/3이 여자라고 하면 세명의 학생 중에서 반드시 한 명은 여자라고 기대하는 것입니다. 야구에서 타율이 1/3이라하면 3번 중 반드시 한번은 안타를 칠 것으로 기대하는 것도 이와같습니다. 이는 로또를 할 때 1,2,3,4,5,6와 1,7,13,21,33,43가 나올 확률은 같지만 후자가..

확률을 잘 아시나요? 교과서에 나오는 발생빈도주의적 확률로 보았을 때 확률은 전 사건의 경우의 수 분의 해당사건이 일어날 경우의 수로 정의합니다. 이를 확장해서 기하학적 확률을 정의할 수 있는데 기하학적 확률은 전 영역의 크기 분의 특정 영역의 크기로 정의합니다. 그렇다면 원에 내접하는 정삼각형, 그리고 임의의 현을 그릴 때, 현의 길이가 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률을 구할 수 있을까요? 이 문제를 해결하는 3가지 방법에 대해 소개하겠습니다. 첫번째는 Random Endpoint 해법입니다. 현의 시작점을 삼각형의 한 꼭짓점으로 두면 현이 삼각형의 한변 보다 길어지기 위해서는 시작점의 반대쪽에 있는 변을 지나야 합니다. 따라서 현을 정의할 수 있는 각도인 180도 중 정삼각형의 한..