결정문제'결정 문제'란 모든 수학적 명제에 대해 참인지 거짓인지를 유한 시간내에 판별할 수 있는 일반적인 절차, 즉 알고리즘이 존재하는지를 묻는 것이었습니다. 이 문제를 처음 제기한 힐베르트는 이러한 알고리즘이 존재할 것이라 기대했습니다. 1920년대에는 수학적 엄밀성에 대한 열정이 고조되어 있었고, 수학적 진리를 탐구하는 강력한 체계들이 속속 등장하고 있었기 때문입니다. 힐베르트는 수학이 충분히 강력하다면, 모든 문제에 대해 확실한 답을 구할 수 있을 것이라 보았던 것입니다.하지만 10년이 채 지나지 않은 1936년, 영국의 젊은 수학자 앨런 튜링은 '계산 가능한 수와 결정 문제에 관한 적용에 관하여'라는 논문을 통해 모든 수학적 명제를 증명하거나 반증할 수 있는 하나의 보편적인 절차, 즉 알고리즘이 ..

연속확률변수와 확률밀도함수어떤 범위에 속하는 모든 실수의 값을 가질 수 있는 확률변수를 연속확률변수라고 합니다. $a\le X\le b$에서 모든 실수의 값을 가지는 연속확률변수 $X$에 대해 정의된 함수 $f(x)$가 아래 세 가지 조건을 만족하면 이를 확률밀도함수라 합니다.$f(x)\ge 0$$y=f(x)$의 그래프와 $x$-축 및 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 1입니다.$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$$특정 구간에서의 확률은 다음과 같이 계산됩니다.$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$정규분포실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 아래 식으로 ..

이산확률변수와 확률질량함수확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, 이 확률변수를 이산확률변수라고 합니다.이산확률변수 가 가질 수 있는 모든 값 에 각각 대응하는 확률을 나타내는 함수를 이산확률변수 $X$의 확률질량함수라고 합니다.$$P(X=x_i)=p_i(i=1,2,3,\dots ,n)$$확률질량함수의 성질확률은 항상 $0$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. $0\le p_i\le 1$확률의 총합은 항상 1입니다: $p_1+p_2+\cdots +p_n=1$이산확률변수의 기댓값(평균)확률질량함수 $P(X=x_i)=p_i$일 때, 확률변수 $X$의 기댓값 또는 평균은 다음과 같이 정의 됩니다. $E(X)$의 $E$는..

On Non-Computable Functions 이 논문에서 제시하는 계산 불가능한 함수의 구성은 유한하고 비어 있지 않은 음이 아닌 정수 집합에는 가장 큰 원소가 존재한다는 원칙에 기초하고 있다. 또한 이 원칙은 현재 기준으로 매우 명확하게 정의된 집합에 대해서만 사용된다. 계산 가능한 함수의 나열을 사용하지 않으므로, 이 구성에서 대각선화 방법(diagonal process)을 사용하지 않는다. 따라서 모든 수학 분야에서 자명하게 여겨지는 원칙이 비구성적 존재를 도출해낸다는 사실이 흥미롭다. I. 서론이 논문의 목적은 몇 가지 매우 간단한 계산 불가능한 함수의 예를 제시하는 것이다. 이러한 예들은 단순함을 넘어서 중요한 점을 조명해준다. 함수 $f(x)$가 계산 불가능한 함수의 예로 사용되기 위해서..

How the Slowest Computer Programs Illuminate Math’s Fundamental Limits | Quanta Magazine How the Slowest Computer Programs Illuminate Math’s Fundamental LimitsThe goal of the “busy beaver” game is to find the longest-running computer program. Its pursuit has surprising connections to some of the most profound questions and concepts in mathematics.www.quantamagazine.org "바쁜 비버" 게임의 목표는 가장 오래 실행되는..