로버트 소겐프라이 (Robert Sorgenfrey)로버트 헨리 소겐프라이(Robert Henry Sorgenfrey, 1915-1995) 는 미국의 수학자이다. 그는 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스(UCLA)에서 수학과 명예교수로 재직했으며, 일반위상수학(General Topology) 분야에 기여했다. 그의 이름은 위상공간의 중요한 반례(counterexample)로 사용되는 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line) 과 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane) 에 남아 있다.조르겐프라이 직선 (Sorgenfrey Line)과 $T_4$ 공간조르겐프라이 직선(Sorgenfrey Line), 또는 하한 위상(lower limit topology)은 실수 집합 $\mathbb{R}$에 기저(..

문제 해결을 위한 일반 원칙쐐기 합 공간 $X\vee Y$의 군을 계산할 때는 다음 두 가지 원칙을 기억하면 모든 문제를 풀 수 있습니다.기본군(${\pi }_1$)은 자유곱($\ast$)으로 계산한다 :이는 각 공간의 모든 경로 정보를 손실 없이 그대로 합치는 개념입니다.공식 : ${\pi }_1(X\vee Y)\cong {\pi }_1(X)\ast {\pi }_1(Y)$계산법 : 각 그룹의 생성원(generator)과 관계식(relator)을 단순히 모두 합칩니다.호몰로지 군($H_1$)은 직접합($\oplus$)으로 계산한다 :이는 각 공간의 아벨화된(abelianized) 정보를 합치는 개념입니다.공식 : $H_1(X\vee Y)\cong H_1(X)\oplus H_1(Y)$계산법 : 각 공간의 $H_1$..

첫 번째 호몰로지 군 $H_1(X)$를 기본군 ${\pi }_1(X,x_0)$의 아벨화(abelianization)로 정의하는 것은 사실 후레비치 정리(Hurewicz theorem)의 결과다. 대수적 위상수학에서 호몰로지 군의 표준적인 정의는 특이 호몰로지(Singular Homology) 를 통해 이루어진다. 이 외에도 계산의 편의성을 위해 단체 호몰로지(Simplicial Homology) 라는 정의도 사용된다.특이 호몰로지 (Singular Homology)특이 호몰로지는 임의의 위상 공간 $X$에 대해 호몰로지 군 $H_n(X)$를 정의할 수 있는 가장 일반적이고 강력한 방법이다.정의표준 $n$-단체(Standard $n$-simplex)${\mathbb{R}}^{n+1}$의 아핀 독립인 점들 $e_0..

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef draw_circle(ax, center, radius, num_points=600): t = np.linspace(0, 2*np.pi, num_points) x = center[0] + radius*np.cos(t) y = center[1] + radius*np.sin(t) ax.plot(x, y, linewidth=1.0)# Model A: Countable wedge of circles as nested circles tangent at the origin,# with radii increasing (so no entire circle lies in a small neighborhoo..

# Full code: Plot a vector field along a parallel of the unit sphere# where each vector in the tangent plane is oriented to point toward the north poleimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# Constantsphi = np.pi / 3 # colatitudetheta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)skip = 10# Parallel circle on spherex = np.sin(phi) * np.cos(theta)y = np.sin(phi..

1. 양립방정식의 필요성: 곡면은 아무렇게나 만들어지지 않는다우리가 임의로 6개의 함수 $E,F,G,e,f,g$를 정한다고 해서, 이들을 각각 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수로 갖는 실제 매끄러운 곡면이 3차원 공간 안에 항상 존재하는 것은 아닙니다. 그 이유는 실제 곡면은 찢어지거나 접히는 부분 없이 매끄러워야 하므로, 좌표 함수 $\mathbf{x}(u,v)$는 미분 순서에 결과가 무관하다는 수학의 기본 원리, 즉 $(\mathbf{x}uu{)}_v=(\mathbf{x}uv{)}_u$와 같은 조건을 만족해야 하기 때문입니다.즉, 곡면의 내재적 구조 (제1 기본 형식)와 외재적 구조 (제2 기본 형식)는 서로 모순 없이 양립(compatible) 해야만 실제 곡면을 이룰 수 있습니..