그리피스 쌍둥이 원뿔이 축약 가능하지 않은 이유는 자명하지 않은(non-trivial) 기본군(fundamental group)을 가지기 때문이다.공간의 축약 가능성(contractibility)과 기본군의 관계를 먼저 이해하면 명확해진다.축약 가능성과 기본군의 관계어떤 위상 공간이 축약 가능하다(contractible) 는 것은 그 공간을 연속적으로 변형하여 하나의 점으로 만들 수 있다는 의미이다.수학적으로, 공간 $X$가 축약 가능할 필요충분조건은 $X$의 항등 함수(identity map)가 상수 함수(constant map)와 호모토픽(homotopic)한 것이다.축약 가능한 공간의 중요한 성질은 모든 호모토피 군이 자명하다는 점이다. 특히, 기본군 $\pi_1(X)$은 원소 하나짜리인 자명군(t..

내 손으로 직접 만드는 Mac 앱? 코딩 없이 HTML 파일을 영구 데스크톱 앱으로 바꾸는 방법혹시 이런 경험 없으신가요? 업무 효율을 높이기 위해 직접 만든 멋진 HTML 계산기, 자주 쓰는 코드 조각을 모아둔 나만의 라이브러리, 혹은 완벽하게 커스터마이징한 투두리스트(To-Do List). 하지만 이 보물 같은 파일은 결국 다운로드 폴더 어딘가에 잠들어 있거나, 이미 수십 개가 열려 정신없는 브라우저의 새 탭으로 열릴 뿐입니다.만약 이 HTML 파일을 Dock에 있는 아이콘 클릭 한 번으로, 군더더기 없는 독립된 창으로 띄울 수 있다면 어떨까요?이 글에서는 복잡한 개발 도구나 추가 프로그램 설치 없이, 여러분의 Mac에 이미 내장된 기능과 최신 브라우저(Microsoft Edge, Google Chr..

T1 공간 (프레셰 공간, Fréchet Space)T1 공간은 서로 다른 두 점이 있을 때, 각각의 점은 포함하고 다른 점은 포함하지 않는 열린 집합이 존재하는 공간을 말한다. 이는 모든 한원소집합(singleton set)이 닫힌집합이라는 조건과 동치이다.정리: 위상공간 $X$와 몫사상 $q: X \to Y$에 대해, 몫공간 $Y$가 T1 공간일 필요충분조건은 $X$의 모든 동치류(equivalence class)가 $X$에서 닫힌집합인 것이다.증명 아이디어:($\Rightarrow$) $Y$가 T1 공간이라고 가정하자.T1 공간의 정의에 따라, $Y$의 모든 한원소집합 ${y}$는 닫힌집합이다.몫사상 $q$는 연속함수이므로, 닫힌집합의 원상(preimage)은 닫힌집합이다.따라서 $q^{-1}({y..

역사적 기원: 물리적 필요성과 쿼터니언(Quaternion)외적의 직접적인 조상은 윌리엄 로언 해밀턴이 1843년에 발명한 쿼터니언(사원수) 입니다. 쿼터니언은 3차원 공간에서의 회전을 간결하게 기술하기 위해 만들어진 수 체계입니다.쿼터니언은 하나의 스칼라(실수) 부분과 세 개의 벡터(허수) 부분으로 이루어집니다 ($w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$). 해밀턴은 두 개의 '순수 벡터' 쿼터니언(스칼라 부분이 0인 경우)을 곱했을 때 매우 흥미로운 결과가 나온다는 것을 발견했습니다.두 벡터 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ 와 $\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3)$ 를 쿼터니언으로 간주하고 곱하면($\mathbf{v}\ma..

미적분학에서 두 개의 서로 다른 점이나 집합을 연결하는 함수가 반드시 존재하는지에 대한 질문은 매우 중요한 문제이다. 이 학습지에서는 연속함수(continuous function)와 미분가능함수(differentiable function)의 존재성을 보장하는 두 가지 중요한 정리를 살펴본다.티체 확장 정리(Tietze Extension Theorem)티체 확장 정리는 닫힌 집합(closed set)에서 정의된 연속함수를 전체 공간으로 확장할 수 있음을 보장한다.정리: $X$가 normal space이고, $A \subset X$가 closed set일 때, $A$에서 정의된 연속함수 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$에 대해 $F: X \rightarrow \mathbb{R}$인 연속함..

로버트 소겐프라이 (Robert Sorgenfrey)로버트 헨리 소겐프라이(Robert Henry Sorgenfrey, 1915-1995) 는 미국의 수학자이다. 그는 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스(UCLA)에서 수학과 명예교수로 재직했으며, 일반위상수학(General Topology) 분야에 기여했다. 그의 이름은 위상공간의 중요한 반례(counterexample)로 사용되는 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line) 과 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane) 에 남아 있다.조르겐프라이 직선 (Sorgenfrey Line)과 $T_4$ 공간조르겐프라이 직선(Sorgenfrey Line), 또는 하한 위상(lower limit topology)은 실수 집합 $\mathbb{R}$에 기저(..