리만은 깊이 있고 창의적인 업적으로 순수 수학의 여러 분야에 혁명적인 기여를 했습니다. 그의 일은 물리학의 발전에도 큰 영감을 주었습니다. 그는 복소수 해석학에서 혁명적인 발전을 이루었고, 이를 위상수학과 수론에 연결시켰습니다. 그는 임의의 큰 차원을 가진 공간을 처음으로 고려한 수학자 중 하나였습니다. 리만은 위상수학을 해석학에 적용하고, 해석학을 수론에 적용하여 모든 세 분야에 혁명적인 기여를 했습니다. 리만은 해석학을 명확하게 하는 리만 적분을 도입했습니다. 그는 다양체라는 용어를 만들어 이론을 개발했고, 이 다양체는 위상수학의 기초를 이룹니다. 리만은 다양체에 측도를 부과함으로써 미분기하학을 발명하고, 비유클리드 기하학을 그 이전의 연구자들보다 훨씬 더 발전시켰습니다. 그의 다른 대표작에는 텐서 ..
정적분 문제를 하나 보도록 하겠습니다. 못푸시더라도 상관없습니다. 어차피 제가 풀어줄거니까요. 이 문제는 분자를 인수분해 하면 분모와 약분되어 새로운 피적분함수를 구한 후정적분을 이용해 값을 찾습니다. 그런데 조금 이상한 점 못느끼셨나요? 이 두 함수는 같은함수인가요? 왼쪽식의 피적분함수는 분모가 0일 때 정의되지 않는 불연속함수지만 오른쪽은 연속함수입니다. 비슷하지만 같지는 않은 함수입니다. 그런데 제 맘대로 이렇게 적분을 해도 되는걸까요? 결론부터 말하면 괜찮습니다. (고등학교 교육과정에서는 적분구간에 불연속점이 포함된 예시를 최대한 피하려고 합니다. ) 저번에 알아본 입실론-델타로 논법으로 리만 적분을 정의하면 (함수가 유계일 때) 한 점을제외해도 적분값에 영향을 미치지 않는다는 사실을 어렵지 않게..
https://youtu.be/U_TwBiZfXqM 임의의 고른 두 자연수가 서로소일 확률을 구할 수 있을까요? 두 자연수가 서로소일 확률을 p라 하겠습니다. 두 자연수 a,b의 최대공약수를 d라 하면 a/d와 b/d는 자연수이며 서로소입니다. 이때 a, b가 최대공약수를 가질 확률을 p(d)라 두면 어떤 자연수가 d의 배수일 확률은 1/d이므로, P(d)=1/d * 1/d * P = P/d^2 라 할 수 있습니다. 두 자연수는 항상 최대공약수를 가지므로 확률p(d)의 총합은 1이며 따라서 p는 1/d^2의 합의 역수가 됩니다. sum1/d^2 = pi^2/6이므로 임의의 두 자연수가 서로소일 확률은 6/pi^2 입니다. 참 쉽죠? 같은 방법으로 세 자연수 또는 그 이상의 자연수들이 서로소일 확률도 구할..
모든 소수 곱은 짝수일까요? 아니면 홀수일까요? 가장 작은 소수는 2이고 그 외의 소수는 모두 홀수이므로 짝수 * 홀수 * 홀수 * ...이므로 짝수라고 생각할 수 있습니다. 하지만 소수의 개수는 무한하므로 모든 소수의 곱은 수로 나타낼 수 없습니다. 따라서 모든 소수의 곱은 존재하지 않으므로 문제 자체가 성립되지 않습니다. 하지만 굳이 답한다면 둘다 아니라고 해야하겠죠. 그런데 수학자들이 정말 모든 소수의 곱에 대해 찾아보지 않았을까요? 모든 소수의 곱을 알아보기 위해 소수에 대해 가장 많은 정보를 갖고 있는 리만제타함수를 가져오도록 하겠습니다. 모든 소수의 곱을 찾기 위해 리만제타함수에 로그를 취하고 테일러 급수로 식을 정리해주면 다음과 같습니다. 이 함수열은 평등수렴하므로 서메이션과 미분을 교환해도..
저번에 1-1/2+1/3-1/4+1/5-…=ln2라는 급수에 대해 엄밀하게 증명했습니다. 사실 재미없는내용인데 꾹 참고 설명한 이유가 있습니다. 왜냐하면 저는 이 급수를 가지고 말도 안되는 2가지 일들을 보여드릴 것입니다. 먼저 급수의 일반항들을 3개의 파트로 나누어 써보겠습니다. 그 다음에 수들을 아래 파트 사이사이에 써 보겠습니다. 그렇다면 저는 순서만 바꾸었을 뿐 모든 숫자를 하나도 빠짐 없이 써서 같은 식을 만들었습니다. 이제 사이사이에 썼던 숫자들을 관찰하면 1/2, 1/6, 1/10이 됩니다. 따라서 식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 이 식은 처음에 식의 순서만 바꾸었을 뿐인데 처음의 썼던 식의 정확히 절반이 됩니다. 따라서 ln2=1/2ln2 이므로 1=2입니다. 아직 놀라시긴 이릅니다..