바젤문제와 리만 제타 함수

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Sum 1/n^s는 수렴할까요? 아니면 발산할까요?

P급수 판정법에 의해 s>1이면 급수는 수렴하고 s<1이면 급수는 발산합니다.

그런데 sum 1/n^2의 값을 계산해보신 적 있으신가요?

수학에 관심이 많으신 분들이라면 이 급수의 수렴값이 pi^2/6으로 수렴한다는 것을 아실 것입니다. 도대체 어떻게하면 여기에 pi가 나오는 것일까요?

이 문제는 바젤문제로 불리는 유명한 문제로 1735년 오일러가 해결해냅니다.

오일러는 sin pix의 매클로린 급수를 이용해 무한 곱으로 함수표현을 바꾸어 계수를 비교해 수렴값을 찾아냈습니다. 학부때 배우는 조금 색다른 방법을 소개하면. 이중적분을 이용하여 급수식을 바꾼 후 치환적분을 이용하여 삼각함수의 역함수 식으로 바꾸면 값을 계산해낼 수 있습니다. 쉬워보이시겠지만 이 두방법 모두 실제로 해보시면 머리카락이 한움큼씩빠집니다. 

 

기왕 머리카락 빠지는거 조금 더 나아가 sum 1/n^3의 값은 얼마일까요? 흔히 아페리 상수(Apéry's constant)라고 불리는이 값은 1978년 아페리가 무리수임을 최초로 증명하였습니다. 현재 이 급수는 소수점 아래 1,200,000,000,100자리까지 계산되었습니다. 아까와 달리 깔끔하게 말하지 않는 이유는 아직 sum 1/n^3이 정확히 얼마인지 몰라서 그렇습니다.

 

sum1/n^s에서 s=2n가 짝수이면 다음과 같이 π^2n가 들어간 값이 나온다고r  알려져 있으나 s가 홀수일때는 아직 그 어떤규칙도 발견되지 않았습니다. 만약 여러분들이 홀수에서 어떤 값을 갖는지 정확히 찾아낼 수 있다면 역사에 길이남을 수학자가 될 것입니다. 왜냐하면 사실 이 급수들은 리만 제타함수에 자연수를 넣은 값들이기 때문입니다. 

 

리만 제타함수는 다음과 같이 s가 급수가 수렴할 수 있는 1보다 큰 복소수에 대해 정의된 함수입니다. 오일러가 바젤문제를 해결했을 때 사용한 스킬을 이용하면 리만 제타 함수는 모든 소수에 대해 다음과 같이 무한 곱 형태로 나타낼 수 있습니다. 소수에 대한 규칙은 없다고 생각했는데 이 식에는 모든 소수가 포함되어 중요하게 여겨지며 난이도도 매우 높습니다. 

 

현재 리만 제타 함수의 모든 자명하지 않은 영점의 실수부가 1/2 이라는 추측은 리만가설로 아직까지 풀리지 않은 밀레니엄 7대 난제로 100만달러, 한화로 12억이 걸려있습니다.

 

바젤문제 14가지 증명 - https://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf