모든 소수의 곱은 짝수? or 홀수?

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모든 소수 곱은 짝수일까요? 아니면 홀수일까요?

가장 작은 소수는 2이고 그 외의 소수는 모두 홀수이므로

짝수 * 홀수 * 홀수 * ...이므로 짝수라고 생각할 수 있습니다.

하지만 소수의 개수는 무한하므로

모든 소수의 곱은 수로 나타낼 수 없습니다.

따라서 모든 소수의 곱은 존재하지 않으므로 문제 자체가 성립되지 않습니다.

하지만 굳이 답한다면 둘다 아니라고 해야하겠죠.

 

그런데 수학자들이 정말 모든 소수의 곱에 대해 찾아보지 않았을까요?

모든 소수의 곱을 알아보기 위해

소수에 대해 가장 많은 정보를 갖고 있는 리만제타함수를 가져오도록 하겠습니다.

모든 소수의 곱을 찾기 위해 리만제타함수에 로그를 취하고 테일러 급수로 식을 정리해주면 다음과 같습니다.

이 함수열은 평등수렴하므로 서메이션과 미분을 교환해도 자유로우므로

양변을 미분하고 식을 정리하면 다음과 같습니다.

 

리만제타함수는 s가 1보다 클때만 정의되므로 리만 제타함수를 해석적으로 연속시켜

감마함수를 이용해 나타내면 다음과 같습니다.

이 식을 이용해 zeta(0)을 구하면 -1/2이고 미분해서 0을 대입하면 -1/2ln(2pi)가 나옵니다. 

이제 아까 식에 s=0을 대입하면 식을 정리할 수 있고, 모든 소수의 곱은 4pi^2이라는 사실을 얻어낼 수 있습니다.

 

따라서 모든 소수의 곱이 존재한다고 해도 그 값은 짝수도 아니고 홀수도 아닌 초월수입니다.