유한 차원에서 $T = L_A$유한 차원 벡터 공간 $V$와 $W$에서, $T: V \to W$가 선형 변환이라고 가정합니다. 이 경우:표준 기저 선택:$V$의 표준 기저를 ${v_1, v_2, \dots, v_n}$,$W$의 표준 기저를 ${w_1, w_2, \dots, w_m}$로 설정합니다.행렬 $A$의 정의:$T(v_j)$를 $W$의 기저를 이용하여 표현하면:$$T(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i,$$여기서 계수 $a_{ij}$는 $m \times n$ 행렬 $A = [a_{ij}]$의 성분이 됩니다.행렬 표현:$$T(x) = A x,$$여기서 $x \in V$를 기저에 대한 좌표 벡터로 표현하면, $T$는 행렬 $A$에 의해 완전히 나타낼 수 있습니다. 이는 $T = L_..

증명 개요실수 집합 $\mathbb{R}$을 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터 공간으로 간주할 때, 만약 이 벡터 공간이 유한 차원이라면 모든 실수가 유리수 계수 다항식의 근 즉, algebraic 한 수여야 합니다.그러나 $\mathbb{R}$에는 transcendental 인 수가 존재하므로 모순이 발생하여, $\mathbb{R}$은 무한 차원임을 증명할 수 있습니다.1. 유한 차원 벡터 공간의 가정가정: $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원 벡터 공간이라고 가정합니다.그렇다면 유한 개의 기저 ${ v_1, v_2, \dots, v_n }$가 존재하여, 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$는 다음과 같이 표현됩니다:$$\alpha = q_1 v_1 ..

1. 하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximal Principle)하우스도르프 극대원리는 선택공리(Axiom of Choice)와 동치인 명제 중 하나로, 다음과 같이 서술할 수 있습니다.정의: 부분순서집합 $(P, \leq)$에서 임의의 사슬(chain, 전순서 부분집합)은 극대 원소(maximal element)를 포함한다.이는 초른 보조정리(Zorn's Lemma)와 유사한 형태를 띠지만, 그 개념이 약간 다릅니다. 하우스도르프 극대원리는 단순히 모든 전순서 집합(chain)이 극대 원소를 포함한다는 사실을 보장하는 반면, 초른 보조정리는 극대 원소의 존재성을 보장하는 원리로 사용됩니다.하우스도르프 극대원리의 역사적 배경하우스도르프 극대원리는 독일의 수학자 펠릭스 하우스도르프(Felix ..

초월수의 미스터리 초월수가 존재해야 할 이유는 처음에는 명확하지 않았습니다. 더구나, 어떤 수가 초월수인지 증명하는 것은 굉장히 어려운 일입니다. 왜냐하면 이것은 부정적인 것, 즉 그 수가 정수 계수를 가진 다항식의 루트가 아니라는 것을 증명해야 하기 때문입니다. 1844년, Joseph Liouville은 이 문제에 간접적인 방법으로 접근하여 첫 번째 초월수를 발견했습니다. 그는 무리수 중 대수적인 수는 유리수로 잘 근사할 수 없다는 것을 발견했습니다. 그래서 그는 분모가 작은 분수로 잘 근사할 수 있는 수를 찾을 수 있다면, 그것은 다른 무언가, 즉 초월수일 것이라고 판단했습니다. 그리고 그는 그러한 수를 구성했습니다. Liouville이 만든 수 \( L \)은 다음과 같습니다. \[ L = 0.1..

안녕하세요, 이번 포스트에서는 수학 분야에서 아주 중요한 인물인 에우독소스에 대해 알아보겠습니다. 에우독소스는 그의 삶과 업적으로 수학 역사에 큰 흔적을 남겼습니다. 이 글에서는 그의 이야기를 세부적으로 들여다보며, 초급부터 고급 수준까지 다양한 내용을 탐구할 것입니다. 에우독소스의 삶 에우독소스는 기원전 3세기에 살았던 그리스의 유명한 수학자입니다. 그는 아렉산드리아 학파의 한 멤버로, 그의 시대에 가장 뛰어난 수학자 중 한 명이었습니다. 에우독소스는 대부분의 성과를 수학 분야에서 이루었지만, 천문학에도 큰 기여를 했습니다. 에우독소스의 삶에 대한 자세한 정보는 많지 않지만, 그의 업적을 통해 그의 중요성을 이해할 수 있습니다. 에우독소스의 업적: 기하학과 무한 에우독소스는 수학의 여러 분야에서 업적을..

https://www.geogebra.org/classic/anakwfcn   지오지브라 클래식 - GeoGebra www.geogebra.org 오늘은 그래프의 사칙연산에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이 내용은 교과서나 문제집에서 정리되어 나와있지는 않지만 알음알음 또는 어깨너머로 배우는 내용일 것입니다. 굳이 알아야하냐 싶지만 그래프의 대략적인 모양을 유추할 때효과적이므로 한번 세세하게 정리해보도록 하겠습니다.함수의 덧셈그래프를 그리는 방법은 2가지만 기억하시면 됩니다. 첫번째는 함숫값이 0이 되는 x값을 생각해보자. 두번째는 개형이어떻게 될지 생각해보자입니다. 여기 x^2과 2x가 있습니다. 두함수를 더하면 어떻게 될까요? 물론 x^2+2x를 바로 그리면 되는거 아니냐 생각하실 수도 있지만 더 어려..