벡터 공간 $V$ 가 있을 때, 그 위에서 정의된 모든 선형 함수(즉, 선형 사상 $V \to \mathbb{F}$, 여기서 $\mathbb{F}$ 는 체)를 모아놓은 공간을 쌍대 공간(dual space) 이라고 합니다. 이를 $V^*$ 로 나타냅니다.즉,$$V^* = { f : V \to \mathbb{F} \mid f \text{는 선형 변환} }$$입니다.왜 배우는가?쌍대 공간은 벡터 공간을 더 깊이 이해하고, 다양한 수학 및 응용 분야에서 필수적인 개념이기 때문입니다.벡터 공간의 구조를 더 잘 이해할 수 있음벡터 공간을 함수적 관점에서 바라보는 것은 기하학적, 대수적 연구에서 중요한 통찰을 제공합니다.예를 들어, 내적 공간에서는 벡터를 하나의 점이 아니라 "다른 벡터를 평가하는 함수"로도 생각할..

직선 $y = mx$에 대한 대칭 변환과 사영 변환을 찾고자 합니다. 일반적인 표준기저에서 해당 식을 찾는 과정은 복잡하므로, 새로운 기저를 이용해 다시 표준변환하는 과정을 설명해보겠습니다.개념정리$T$를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 선형 연산자라고 하고, $\beta$와 $\beta'$를 $V$의 순서 있는 기저라고 하자. $Q$를 $\beta'$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 기저 변환 행렬이라고 가정하면, 다음이 성립한다.$$[T]_{\beta'} = Q^{-1} [T]_{\beta} Q$$$T$의 표준기저 표현을 찾는 것은 어려우므로, 새로운 기저 $\beta'$를 선택하여 $T$를 표현하고자 합니다.새로운 기저의 구성대칭 변환을 쉽게 표현하기 위해, 직선 $y = mx$에 평행한 벡..

유한 차원에서 $T = L_A$유한 차원 벡터 공간 $V$와 $W$에서, $T: V \to W$가 선형 변환이라고 가정합니다. 이 경우:표준 기저 선택:$V$의 표준 기저를 ${v_1, v_2, \dots, v_n}$,$W$의 표준 기저를 ${w_1, w_2, \dots, w_m}$로 설정합니다.행렬 $A$의 정의:$T(v_j)$를 $W$의 기저를 이용하여 표현하면:$$T(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i,$$여기서 계수 $a_{ij}$는 $m \times n$ 행렬 $A = [a_{ij}]$의 성분이 됩니다.행렬 표현:$$T(x) = A x,$$여기서 $x \in V$를 기저에 대한 좌표 벡터로 표현하면, $T$는 행렬 $A$에 의해 완전히 나타낼 수 있습니다. 이는 $T = L_..

1. 선형변환의 본질선형변환(linear transformation)은 벡터 공간 $V$에서 벡터 공간 $W$로의 함수 $T: V \to W$로 정의되며, 다음 두 가지를 만족합니다:$T(u + v) = T(u) + T(v)$ (벡터 덧셈의 보존)$T(cu) = cT(u)$ (스칼라 곱의 보존)이 두 조건은 선형변환이 직선성과 비율 관계를 유지한다는 것을 의미합니다. 따라서 선형변환은 기하학적으로도 간결하게 표현할 수 있습니다.2. 기하학적 관점에서 선형변환 이해하기선형변환의 가장 직관적인 방법은 이를 벡터의 이동과 격자의 변형으로 시각화하는 것입니다.(1) 2차원에서의 변환$\mathbb{R}^2$ 공간에서 선형변환 $T$는 원점을 고정한 상태에서 벡터들을 늘리거나, 줄이거나, 회전하거나, 반사하는 등..

증명 개요실수 집합 $\mathbb{R}$을 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터 공간으로 간주할 때, 만약 이 벡터 공간이 유한 차원이라면 모든 실수가 유리수 계수 다항식의 근 즉, algebraic 한 수여야 합니다.그러나 $\mathbb{R}$에는 transcendental 인 수가 존재하므로 모순이 발생하여, $\mathbb{R}$은 무한 차원임을 증명할 수 있습니다.1. 유한 차원 벡터 공간의 가정가정: $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원 벡터 공간이라고 가정합니다.그렇다면 유한 개의 기저 ${ v_1, v_2, \dots, v_n }$가 존재하여, 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$는 다음과 같이 표현됩니다:$$\alpha = q_1 v_1 ..

1. 하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximal Principle)하우스도르프 극대원리는 선택공리(Axiom of Choice)와 동치인 명제 중 하나로, 다음과 같이 서술할 수 있습니다.정의: 부분순서집합 $(P, \leq)$에서 임의의 사슬(chain, 전순서 부분집합)은 극대 원소(maximal element)를 포함한다.이는 초른 보조정리(Zorn's Lemma)와 유사한 형태를 띠지만, 그 개념이 약간 다릅니다. 하우스도르프 극대원리는 단순히 모든 전순서 집합(chain)이 극대 원소를 포함한다는 사실을 보장하는 반면, 초른 보조정리는 극대 원소의 존재성을 보장하는 원리로 사용됩니다.하우스도르프 극대원리의 역사적 배경하우스도르프 극대원리는 독일의 수학자 펠릭스 하우스도르프(Felix ..