그리피스 쌍둥이 원뿔이 축약 가능하지 않은 이유는 자명하지 않은(non-trivial) 기본군(fundamental group)을 가지기 때문이다.공간의 축약 가능성(contractibility)과 기본군의 관계를 먼저 이해하면 명확해진다.축약 가능성과 기본군의 관계어떤 위상 공간이 축약 가능하다(contractible) 는 것은 그 공간을 연속적으로 변형하여 하나의 점으로 만들 수 있다는 의미이다.수학적으로, 공간 $X$가 축약 가능할 필요충분조건은 $X$의 항등 함수(identity map)가 상수 함수(constant map)와 호모토픽(homotopic)한 것이다.축약 가능한 공간의 중요한 성질은 모든 호모토피 군이 자명하다는 점이다. 특히, 기본군 $\pi_1(X)$은 원소 하나짜리인 자명군(t..

# Full code: Plot a vector field along a parallel of the unit sphere# where each vector in the tangent plane is oriented to point toward the north poleimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# Constantsphi = np.pi / 3 # colatitudetheta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)skip = 10# Parallel circle on spherex = np.sin(phi) * np.cos(theta)y = np.sin(phi..

1. 양립방정식의 필요성: 곡면은 아무렇게나 만들어지지 않는다우리가 임의로 6개의 함수 $E, F, G, e, f, g$를 정한다고 해서, 이들을 각각 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수로 갖는 실제 매끄러운 곡면이 3차원 공간 안에 항상 존재하는 것은 아닙니다. 그 이유는 실제 곡면은 찢어지거나 접히는 부분 없이 매끄러워야 하므로, 좌표 함수 $\mathbf{x}(u,v)$는 미분 순서에 결과가 무관하다는 수학의 기본 원리, 즉 $(\mathbf{x}{uu})_v = (\mathbf{x}{uv})_u$와 같은 조건을 만족해야 하기 때문입니다.즉, 곡면의 내재적 구조 (제1 기본 형식)와 외재적 구조 (제2 기본 형식)는 서로 모순 없이 양립(compatible) 해야만 실제 곡면을 이룰 수 있습니..

1. 우리가 분석하고 싶은 벡터: 가속도 벡터 $\mathbf{x}_{ij}$먼저 $\mathbf{x}_{ij}$가 무엇인지 다시 생각해보자.$\mathbf{x}(u^1, u^2)$: 곡면 위의 위치 벡터$\mathbf{x}_i = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^i}$: 곡면 위를 달리는 자동차의 속도 벡터 (이자 접평면의 기저벡터)$\mathbf{x}_{ij} = \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial u^j}$: 그 자동차의 가속도 벡터자동차 운전을 생각해보자. 평평한 길 위에서는 가속페달을 밟으면 가속도 벡터가 도로면에 평행하다. 하지만 언덕 꼭대기를 넘는 순간을 생각해보자. 몸이 위로 살짝 뜨는 느낌이 든다. 이 순간의 가속도 벡터..

알겠습니다. 최소비가산 정렬집합(minimally uncountable well-ordered set), 종종 첫 번째 비가산 순서수 $\omega_1$ 또는 $\Omega$로 표시되는 집합에 대해 컴팩트성, 극한점 컴팩트성, 수열 컴팩트성을 판단해 보겠습니다.이 집합은 순서 위상(order topology)을 갖는다고 가정합니다.핵심 결론:컴팩트하지 않습니다.극한점 컴팩트합니다.수열 컴팩트합니다.상세 설명1. 컴팩트성 (Compactness)판단: 컴팩트하지 않다. ❌최소비가산 정렬집합은 컴팩트하지 않습니다. 이를 보이는 일반적인 방법은 다음과 같습니다.집합 $X = [0, \omega_1)$ (0을 포함하고 $\omega_1$ 이전의 모든 가산 순서수들의 집합)을 생각해보겠습니다.각 $\alpha 이..

벡터 공간 $V$ 가 있을 때, 그 위에서 정의된 모든 선형 함수(즉, 선형 사상 $V \to \mathbb{F}$, 여기서 $\mathbb{F}$ 는 체)를 모아놓은 공간을 쌍대 공간(dual space) 이라고 합니다. 이를 $V^*$ 로 나타냅니다.즉,$$V^* = { f : V \to \mathbb{F} \mid f \text{는 선형 변환} }$$입니다.왜 배우는가?쌍대 공간은 벡터 공간을 더 깊이 이해하고, 다양한 수학 및 응용 분야에서 필수적인 개념이기 때문입니다.벡터 공간의 구조를 더 잘 이해할 수 있음벡터 공간을 함수적 관점에서 바라보는 것은 기하학적, 대수적 연구에서 중요한 통찰을 제공합니다.예를 들어, 내적 공간에서는 벡터를 하나의 점이 아니라 "다른 벡터를 평가하는 함수"로도 생각할..