벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 각각 유한 차원을 갖는다고 가정하겠습니다.$\dim(V) = n$$\dim(W) = m$이제, 새로운 벡터 공간 $Z$ 를 다음과 같이 정의합니다.$$Z = V \times W = { (v, w) \mid v \in V, w \in W }$$이 벡터 공간 $Z$ 의 차원을 구해 보겠습니다.1. $Z$ 가 벡터 공간인지 확인두 원소 $(v_1, w_1)$, $(v_2, w_2)$ 에 대해 덧셈이 정의됩니다:$$(v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2)$$이는 $V$ 와 $W$ 의 벡터 공간 구조를 따르므로 닫혀 있습니다.스칼라 곱셈도 정의됩니다:$$c(v, w) = (cv, cw)$$역시 벡터 공간의 조건을 만족합니다.그러므로 $..

1. 생성집합(Span)정의: 벡터 공간 $V$에서 생성집합은 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들어질 수 있는 모든 벡터들의 집합입니다.수학적 표현:$$\text{Span}\{v_1, v_2, \dots, v_k\} = \left\{\sum_{i=1}^k c_i v_i \mid c_i \in \mathbb{R}\right\}$$여기서 $v_1, v_2, \dots, v_k$는 $V$의 벡터들입니다.특징:생성집합은 주어진 벡터들이 "생성할 수 있는" 전체 공간을 나타냅니다.생성집합은 중복된 벡터나 선형 종속 벡터를 포함할 수 있습니다.2. 기저(Basis)정의: 벡터 공간 $V$에서 기저는 $V$의 모든 벡터를 유일하게 생성할 수 있는 벡터들의 집합입니다.즉, 기저는 벡터 공간을 표현하기 위해 필요한 최소..

1. Span의 정의집합 $S$가 벡터공간 $V$에서 주어졌을 때, $S$의 span은 다음과 같이 정의됩니다.$$\text{span}(S) = \left\{ c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n \mid c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathbb{R}, v_1, v_2, \dots, v_n \in S \right\}$$즉, $S$에 있는 벡터들의 선형결합(Linear Combination)을 통해 생성되는 부분공간입니다.2. 공집합 \emptyset$ 의 span만약 $S = \emptyset$이라면, $S$에는 아무런 벡터도 포함되지 않습니다. 그러면 선형결합을 만들 기본 벡터 자체가 존재하지 않음을 의미합니다. 하지만, 벡터공간의 성질을 유지하면서 최소한의..

"Arbitrary"라는 단어는 수학에서 특정한 값을 고정하지 않고 임의로 선택한 경우를 나타낼 때 사용됩니다. 주어진 맥락에서 "arbitrary"는 다음과 같은 의미로 해석됩니다:1. 임의로 선택한 $s_0$문장에서 "Let $s_0 \in S$ arbitrary"는 $S$의 원소 $s_0$를 특별한 조건 없이 임의로 선택했다는 뜻입니다. 이는 $s_0$가 $S$의 아무 원소라도 될 수 있다는 것을 나타냅니다.2. 특정하지 않음"Arbitrary"는 특정 값이나 속성에 제한을 두지 않음을 강조합니다. $s_0$가 어떤 원소이든, 주어진 논리나 조건이 모든 경우에 대해 성립함을 보이기 위한 가정입니다.3. 일반성을 나타냄"Arbitrary"를 사용하면 논의가 특정 상황에 국한되지 않고, 모든 $s_0$..

기본 개념벡터 공간 $V$은 특정 체 $\mathbb{F}$ 위에서 정의된 집합으로, 두 연산(벡터 덧셈, 스칼라 곱셈)이 다음 공리들을 만족해야 합니다:덧셈에 대해 닫혀 있음덧셈의 교환법칙덧셈의 결합법칙덧셈의 항등원 존재덧셈에 대한 역원 존재스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있음스칼라 곱셈의 결합법칙스칼라 곱셈의 분배법칙1의 곱셈 항등성교집합 $W_1 \cap W_2$$W_1$과 $W_2$가 동일한 벡터 공간 $V$의 부분 공간(subspace)이라 하자.두 부분 공간의 교집합 $W_1 \cap W_2$는 다음과 같이 정의됩니다:$$W_1 \cap W_2 = { \mathbf{v} \in V \mid \mathbf{v} \in W_1 \text{ and } \mathbf{v} \in W_2 }.$$교집합이 벡터..

On Non-Computable Functions 이 논문에서 제시하는 계산 불가능한 함수의 구성은 유한하고 비어 있지 않은 음이 아닌 정수 집합에는 가장 큰 원소가 존재한다는 원칙에 기초하고 있다. 또한 이 원칙은 현재 기준으로 매우 명확하게 정의된 집합에 대해서만 사용된다. 계산 가능한 함수의 나열을 사용하지 않으므로, 이 구성에서 대각선화 방법(diagonal process)을 사용하지 않는다. 따라서 모든 수학 분야에서 자명하게 여겨지는 원칙이 비구성적 존재를 도출해낸다는 사실이 흥미롭다. I. 서론이 논문의 목적은 몇 가지 매우 간단한 계산 불가능한 함수의 예를 제시하는 것이다. 이러한 예들은 단순함을 넘어서 중요한 점을 조명해준다. 함수 $f(x)$가 계산 불가능한 함수의 예로 사용되기 위해서..