$\text{span}(\phi) = \{0\}$인 이유

1. Span의 정의

집합 $S$가 벡터공간 $V$에서 주어졌을 때, $S$의 span은 다음과 같이 정의됩니다.

$$\text{span}(S) = \left\{ c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n \mid c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathbb{R}, v_1, v_2, \dots, v_n \in S \right\}$$

즉, $S$에 있는 벡터들의 선형결합(Linear Combination)을 통해 생성되는 부분공간입니다.

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2. 공집합 \emptyset$ 의 span

만약 $S = \emptyset$이라면, $S$에는 아무런 벡터도 포함되지 않습니다. 그러면 선형결합을 만들 기본 벡터 자체가 존재하지 않음을 의미합니다. 하지만, 벡터공간의 성질을 유지하면서 최소한의 부분공간을 정의해야 합니다.

벡터공간은 반드시 영벡터를 포함해야 하므로, 공집합의 span은 오직 영벡터만 포함하는 집합이 됩니다.

$$
\text{span}(\emptyset) = {0}
$$

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3. 왜 영벡터를 반드시 포함해야 하는가?

(1) 벡터공간의 공리 (Vector Space Axioms)

벡터공간 $V$는 다음과 같은 공리를 만족해야 합니다.

• 덧셈에 대한 항등원 존재: 벡터공간에는 반드시 영벡터 $\mathbf{0}$가 존재해야 하며, 모든 벡터 $v$에 대해
  $$
  v + \mathbf{0} = v
  $$
  를 만족해야 합니다.

즉, 벡터공간에서 어떤 부분공간을 정의하더라도 영벡터가 반드시 존재해야 합니다.

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(2) 부분공간의 조건 (Subspace Conditions)

어떤 집합 $W$이 벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)이 되려면, 다음 조건을 만족해야 합니다.

1. $W$은 덧셈에 대해 닫혀 있어야 한다 → 만약 $u, v \in W$이면, $u + v \in W$이어야 한다.
2. $W$은 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있어야 한다 → 만약 $v \in W$, $c \in \mathbb{R}$이면 $c v \in W$이어야 한다.
3. 영벡터를 포함해야 한다.

만약 영벡터가 없다면, 0을 곱하는 연산을 수행할 때 문제가 발생합니다. 예를 들어, 어떤 벡터 $v$가 $W$에 속한다고 가정했을 때,

$$
0 \cdot v = \mathbf{0}
$$

가 되어야 합니다. 따라서 $W$가 부분공간이라면 반드시 영벡터를 포함해야 합니다.

공집합 $\emptyset$의 span은 최소한의 벡터들로 이루어진 부분공간을 만들어야 하므로, 유일하게 가능한 선택은 영벡터만 포함하는 집합 ${0}$이 됩니다.

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결론

• 공집합 $\emptyset$에는 어떤 벡터도 포함되지 않으므로, 선형결합을 만들 방법이 없다.
• 하지만 벡터공간의 부분공간이 되려면 반드시 영벡터를 포함해야 한다.
• 따라서 $\text{span}(\emptyset) = {0}$ 이다.