두 벡터 공간의 교집합이 벡터 공간인가?Math/Reference2025. 1. 22. 09:23
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기본 개념
- 벡터 공간
은 특정 체 위에서 정의된 집합으로, 두 연산(벡터 덧셈, 스칼라 곱셈)이 다음 공리들을 만족해야 합니다:- 덧셈에 대해 닫혀 있음
- 덧셈의 교환법칙
- 덧셈의 결합법칙
- 덧셈의 항등원 존재
- 덧셈에 대한 역원 존재
- 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있음
- 스칼라 곱셈의 결합법칙
- 스칼라 곱셈의 분배법칙
- 1의 곱셈 항등성
교집합 W1∩W2
과 가 동일한 벡터 공간 의 부분 공간(subspace)이라 하자.- 두 부분 공간의 교집합
는 다음과 같이 정의됩니다:
교집합이 벡터 공간인지 확인
- 교집합
가 벡터 공간인지 확인하려면 부분 공간의 조건을 만족해야 합니다: : 벡터 공간은 항상 영벡터를 포함하므로 이고 입니다. 따라서 .- 덧셈에 대해 닫혀 있음:
라면, 이고 입니다.- 따라서
.
- 스칼라 곱에 대해 닫혀 있음:
, 라면 이고 입니다.- 따라서
.
결론
는 벡터 공간입니다.- 교집합은 두 부분 공간에 공통으로 속하는 원소들로 구성되며, 벡터 공간의 공리를 만족합니다.
추가 설명
의 차원은 일반적으로 로 계산됩니다.- 여기서
는 과 의 합 공간으로 정의됩니다:
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@Ray 수학 :: Ray 수학
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