두 벡터 공간의 교집합이 벡터 공간인가?

기본 개념

• 벡터 공간 $V$은 특정 체 $\mathbb{F}$ 위에서 정의된 집합으로, 두 연산(벡터 덧셈, 스칼라 곱셈)이 다음 공리들을 만족해야 합니다:
  1. 덧셈에 대해 닫혀 있음
  2. 덧셈의 교환법칙
  3. 덧셈의 결합법칙
  4. 덧셈의 항등원 존재
  5. 덧셈에 대한 역원 존재
  6. 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있음
  7. 스칼라 곱셈의 결합법칙
  8. 스칼라 곱셈의 분배법칙
  9. 1의 곱셈 항등성

교집합 $W_1 \cap W_2$

• $W_1$과 $W_2$가 동일한 벡터 공간 $V$의 부분 공간(subspace)이라 하자.
• 두 부분 공간의 교집합 $W_1 \cap W_2$는 다음과 같이 정의됩니다:
  $$
  W_1 \cap W_2 = { \mathbf{v} \in V \mid \mathbf{v} \in W_1 \text{ and } \mathbf{v} \in W_2 }.
  $$

교집합이 벡터 공간인지 확인

• 교집합 $W_1 \cap W_2$가 벡터 공간인지 확인하려면 부분 공간의 조건을 만족해야 합니다:
  1. $\mathbf{0} \in W_1 \cap W_2$: 벡터 공간은 항상 영벡터를 포함하므로 $\mathbf{0} \in W_1$이고 $\mathbf{0} \in W_2$입니다. 따라서 $\mathbf{0} \in W_1 \cap W_2$.
  2. 덧셈에 대해 닫혀 있음:
     • $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W_1 \cap W_2$라면, $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_1$이고 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_2$입니다.
     • 따라서 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W_1 \cap W_2$.
  3. 스칼라 곱에 대해 닫혀 있음:
     • $\mathbf{v} \in W_1 \cap W_2$, $c \in \mathbb{F}$라면 $c \mathbf{v} \in W_1$이고 $c \mathbf{v} \in W_2$입니다.
     • 따라서 $c \mathbf{v} \in W_1 \cap W_2$.

결론

• $W_1 \cap W_2$는 벡터 공간입니다.
• 교집합은 두 부분 공간에 공통으로 속하는 원소들로 구성되며, 벡터 공간의 공리를 만족합니다.

추가 설명

• $W_1 \cap W_2$의 차원은 일반적으로 $\dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 + W_2)$로 계산됩니다.
• 여기서 $W_1 + W_2$는 $W_1$과 $W_2$의 합 공간으로 정의됩니다:
  $$
  W_1 + W_2 = { \mathbf{v} + \mathbf{w} \mid \mathbf{v} \in W_1, \mathbf{w} \in W_2 }.
  $$