유한 차원에서 $T=L_A$유한 차원 벡터 공간 $V$와 $W$에서, $T:V\to W$가 선형 변환이라고 가정합니다. 이 경우:표준 기저 선택:$V$의 표준 기저를 $v_1,v_2,\dots ,v_n$,$W$의 표준 기저를 $w_1,w_2,\dots ,w_m$로 설정합니다.행렬 $A$의 정의:$T(v_j)$를 $W$의 기저를 이용하여 표현하면:$$T(v_j)=\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i,$$여기서 계수 $a_{ij}$는 $m\times n$ 행렬 $A=[a_{ij}]$의 성분이 됩니다.행렬 표현:$$T(x)=Ax,$$여기서 $x\in V$를 기저에 대한 좌표 벡터로 표현하면, $T$는 행렬 $A$에 의해 완전히 나타낼 수 있습니다. 이는 $T = L_..

벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 각각 유한 차원을 갖는다고 가정하겠습니다.$\dim (V)=n$$\dim (W)=m$이제, 새로운 벡터 공간 $Z$ 를 다음과 같이 정의합니다.$$Z=V\times W=(v,w)\mid v\in V,w\in W$$이 벡터 공간 $Z$ 의 차원을 구해 보겠습니다.1. $Z$ 가 벡터 공간인지 확인두 원소 $(v_1,w_1)$, $(v_2,w_2)$ 에 대해 덧셈이 정의됩니다:$$(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)$$이는 $V$ 와 $W$ 의 벡터 공간 구조를 따르므로 닫혀 있습니다.스칼라 곱셈도 정의됩니다:$$c(v,w)=(cv,cw)$$역시 벡터 공간의 조건을 만족합니다.그러므로 $..

1. 생성집합(Span)정의: 벡터 공간 $V$에서 생성집합은 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들어질 수 있는 모든 벡터들의 집합입니다.수학적 표현:$$\text{Span}\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}=\{\sum _{i=1}^k{c}_i{v}_i\mid c_i\in \mathbb{R}\}$$여기서 $v_1,v_2,\dots ,v_k$는 $V$의 벡터들입니다.특징:생성집합은 주어진 벡터들이 "생성할 수 있는" 전체 공간을 나타냅니다.생성집합은 중복된 벡터나 선형 종속 벡터를 포함할 수 있습니다.2. 기저(Basis)정의: 벡터 공간 $V$에서 기저는 $V$의 모든 벡터를 유일하게 생성할 수 있는 벡터들의 집합입니다.즉, 기저는 벡터 공간을 표현하기 위해 필요한 최소..

리만은 깊이 있고 창의적인 업적으로 순수 수학의 여러 분야에 혁명적인 기여를 했습니다. 그의 일은 물리학의 발전에도 큰 영감을 주었습니다. 그는 복소수 해석학에서 혁명적인 발전을 이루었고, 이를 위상수학과 수론에 연결시켰습니다. 그는 임의의 큰 차원을 가진 공간을 처음으로 고려한 수학자 중 하나였습니다. 리만은 위상수학을 해석학에 적용하고, 해석학을 수론에 적용하여 모든 세 분야에 혁명적인 기여를 했습니다. 리만은 해석학을 명확하게 하는 리만 적분을 도입했습니다. 그는 다양체라는 용어를 만들어 이론을 개발했고, 이 다양체는 위상수학의 기초를 이룹니다. 리만은 다양체에 측도를 부과함으로써 미분기하학을 발명하고, 비유클리드 기하학을 그 이전의 연구자들보다 훨씬 더 발전시켰습니다. 그의 다른 대표작에는 텐서 ..

벡터 공간과 부분공간은 선형 대수학의 핵심 개념입니다. 이 글에서는 초급부터 고급 수준까지 벡터 공간과 부분공간에 관한 다양한 개념을 다룹니다. 이해하기 쉬운 설명, 그래프 및 수식을 사용하여 독자가 직관적으로 개념을 이해할 수 있게 도와드리겠습니다. 1. 벡터 공간의 정의와 예 벡터 공간은 여러 가지 성질을 만족하는 벡터 집합입니다. 벡터 공간의 정의를 살펴보고 예를 통해 이해해봅시다. 벡터 공간의 정의 벡터 공간 $V$는 스칼라 곱과 벡터 덧셈에 대해 닫혀있는 벡터의 집합입니다. 벡터 공간은 다음 성질을 만족해야 합니다. 덧셈의 교환법칙: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V,\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ 덧셈의 결합법칙: $\forall ..

벡터의 선형 결합과 선형 독립은 벡터 공간의 기본 개념입니다. 이 글에서는 선형 결합과 선형 독립의 개념, 선형 독립 판별 방법, 선형 독립의 기하학적 의미 등에 대해 알아보겠습니다. 1. 선형 결합 1.1. 선형 결합의 정의 선형 결합은 벡터들과 스칼라들의 곱을 더한 것입니다. 벡터 ${\mathbf{\text{v}}}_1,{\mathbf{\text{v}}}_2,...,{\mathbf{\text{v}}}_n$과 스칼라 $c_1,c_2,...,c_n$이 주어졌을 때, 선형 결합은 다음과 같이 표현할 수 있습니다: $$c_1{\mathbf{\text{v}}}_1+c_2{\mathbf{\text{v}}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{\text{v}}}_n$$ 선형 결합은 벡터 공간에 포함된 임의의 벡터를 생성할 수 있는 방법입니다. 1.2. 선형 결합의 예 예를 들어, 벡..