기본 개념벡터 공간 $V$은 특정 체 $\mathbb{F}$ 위에서 정의된 집합으로, 두 연산(벡터 덧셈, 스칼라 곱셈)이 다음 공리들을 만족해야 합니다:덧셈에 대해 닫혀 있음덧셈의 교환법칙덧셈의 결합법칙덧셈의 항등원 존재덧셈에 대한 역원 존재스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있음스칼라 곱셈의 결합법칙스칼라 곱셈의 분배법칙1의 곱셈 항등성교집합 $W_1 \cap W_2$$W_1$과 $W_2$가 동일한 벡터 공간 $V$의 부분 공간(subspace)이라 하자.두 부분 공간의 교집합 $W_1 \cap W_2$는 다음과 같이 정의됩니다:$$W_1 \cap W_2 = { \mathbf{v} \in V \mid \mathbf{v} \in W_1 \text{ and } \mathbf{v} \in W_2 }.$$교집합이 벡터..

벡터의 선형 결합과 선형 독립은 벡터 공간의 기본 개념입니다. 이 글에서는 선형 결합과 선형 독립의 개념, 선형 독립 판별 방법, 선형 독립의 기하학적 의미 등에 대해 알아보겠습니다. 1. 선형 결합 1.1. 선형 결합의 정의 선형 결합은 벡터들과 스칼라들의 곱을 더한 것입니다. 벡터 $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2, ..., \textbf{v}_n$과 스칼라 $c_1, c_2, ..., c_n$이 주어졌을 때, 선형 결합은 다음과 같이 표현할 수 있습니다: $$c_1\textbf{v}_1 + c_2\textbf{v}_2 + \cdots + c_n\textbf{v}_n$$ 선형 결합은 벡터 공간에 포함된 임의의 벡터를 생성할 수 있는 방법입니다. 1.2. 선형 결합의 예 예를 들어, 벡..

벡터의 정의와 연산에 대해 깊이 있는 이해를 제공하는 것이 이 글의 목표입니다. 이 글에서는 벡터의 개념, 벡터 공간, 벡터 연산, 기하학적 의미와 벡터를 활용한 다양한 문제 해결 방법을 다룰 것입니다. 1. 벡터의 정의 1.1. 벡터란 무엇인가? 벡터는 크기와 방향을 가지는 기하학적 객체입니다. 이는 스칼라와 대비되는 개념으로, 스칼라는 크기만 가지고 방향을 가지지 않습니다. 벡터는 다양한 분야에서 활용되며, 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등에서 중요한 개념으로 여겨집니다. 1.2. 벡터의 표현 벡터는 일반적으로 소문자 볼드체 알파벳으로 표기합니다. 예를 들어, 벡터 $\textbf{a}$는 다음과 같이 표현할 수 있습니다: $$\textbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\..

벡터와 행렬의 기본 개념 우리는 벡터와 행렬의 기본 개념에 대해 배울 것입니다. 이 글에서는 가독성과 SEO 최적화를 위해 적절한 소제목들을 사용할 것입니다. 1. 벡터의 이해 1.1. 벡터란 무엇인가? 벡터는 크기와 방향을 가진 양입니다. 우리가 흔히 사용하는 숫자들은 스칼라로 알려져 있습니다. 그런데 이런 스칼라 값에 방향을 더한 것이 벡터입니다. 벡터는 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현됩니다: $$\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$$ 1.2. 벡터의 연산 벡터끼리 더하거나 뺄 수 있습니다. 벡터 연산은 각 성분끼리 연산을 수행합니다. 예를 들어, 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$가 있을 때, 덧셈은..

1. 서론 우리는 선형대수학의 역사와 응용에 대해 함께 알아보려 합니다. 이 주제를 이해함으로써, 우리는 어떻게 이 수학의 지식이 발전해 왔는지와 우리 현대 사회에서 어떻게 활용되고 있는지를 살펴볼 수 있습니다. 그러면 시작해볼까요? 2. 선형대수학의 역사 2.1. 고대 선형대수학의 기원 선형대수학은 고대문명부터 시작되어 발전해왔습니다. 고대의 수학자들은 행렬과 벡터의 개념을 이해하기 시작했고, 이를 사용하여 다양한 문제를 해결했습니다. 예를 들어, 고대 중국에서는 가우스 소거법과 유사한 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결하였습니다. 그러나 이러한 개념들이 현대의 선형대수학과 어떻게 연결되었는지 알아보겠습니다. 2.2. 현대 선형대수학의 발전 현대 선형대수학의 발전은 19세기에 이르러서야 본격적으..

1. 선형대수학이란 무엇인가요? 우리가 시작하기 전에, 선형대수학이란 무엇일까요? 선형대수학은 벡터와 행렬, 그리고 이들 간의 연산을 다루는 수학의 한 분야입니다. 이는 공학, 컴퓨터 과학, 물리학 등 여러 분야에서 광범위하게 사용되며, 실생활 문제를 해결하는데 큰 역할을 합니다. 그렇다면 우리가 왜 이 분야를 배워야 할까요? 이제부터 차근차근 알아가 봅시다. 2. 벡터와 벡터 공간 선형대수학에서 가장 기본적인 개념은 바로 벡터입니다. 벡터는 크기와 방향을 가진 객체로, 공간에서 한 점에서 다른 점으로의 이동을 나타냅니다. 우리는 이 벡터들을 수학적으로 표현하고 다루기 위해 다양한 연산을 사용합니다. 벡터 공간은 벡터들의 집합으로, 벡터 연산의 규칙을 만족하는 공간입니다. 그렇다면, 어떻게 벡터 공간을 ..