V의 차원이 n이고, W의 차원이 m일때, Z=(v,w)의 차원은?

벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 각각 유한 차원을 갖는다고 가정하겠습니다.

• $\dim(V) = n$
• $\dim(W) = m$

이제, 새로운 벡터 공간 $Z$ 를 다음과 같이 정의합니다.

$$
Z = V \times W = { (v, w) \mid v \in V, w \in W }
$$

이 벡터 공간 $Z$ 의 차원을 구해 보겠습니다.

1. $Z$ 가 벡터 공간인지 확인

• 두 원소 $(v_1, w_1)$, $(v_2, w_2)$ 에 대해 덧셈이 정의됩니다:
  $$
  (v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2)
  $$
  이는 $V$ 와 $W$ 의 벡터 공간 구조를 따르므로 닫혀 있습니다.
• 스칼라 곱셈도 정의됩니다:
  $$
  c(v, w) = (cv, cw)
  $$
  역시 벡터 공간의 조건을 만족합니다.

그러므로 $Z$ 는 벡터 공간입니다.

2. $Z$ 의 기저(Basis) 찾기

• $V$ 의 기저를 ${ v_1, v_2, \dots, v_n }$ 라고 하겠습니다.
• $W$ 의 기저를 ${ w_1, w_2, \dots, w_m }$ 라고 하겠습니다.

그러면 $Z$ 의 원소는 $V$ 와 $W$ 의 원소들의 순서쌍 $(v, w)$ 로 나타낼 수 있습니다.

자연스럽게 다음과 같은 벡터들의 집합을 고려할 수 있습니다.

$$
{ (v_1, 0), (v_2, 0), \dots, (v_n, 0), (0, w_1), (0, w_2), \dots, (0, w_m) }
$$

이 집합이 $Z$ 의 기저가 됨을 보이겠습니다.

• 선형 독립성: 이들의 선형 결합이 0이 될 때,
  $$
  a_1 (v_1, 0) + a_2 (v_2, 0) + \dots + a_n (v_n, 0) + b_1 (0, w_1) + b_2 (0, w_2) + \dots + b_m (0, w_m) = (0,0)
  $$
  즉,
  $$
  (a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n, b_1 w_1 + b_2 w_2 + \dots + b_m w_m) = (0,0)
  $$
  이므로, $V$ 와 $W$ 각각에서 독립성을 고려하면, $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0$ 그리고 $b_1 = b_2 = \dots = b_m = 0$ 여야 합니다. 따라서 이 벡터들은 선형 독립입니다.
• 생성: 임의의 $(v, w) \in Z$ 에 대해, $v$ 는 $V$ 의 기저로 표현되고 $w$ 는 $W$ 의 기저로 표현되므로,
  $$
  v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n, \quad w = d_1 w_1 + d_2 w_2 + \dots + d_m w_m
  $$
  따라서,
  $$
  (v, w) = c_1 (v_1, 0) + c_2 (v_2, 0) + \dots + c_n (v_n, 0) + d_1 (0, w_1) + d_2 (0, w_2) + \dots + d_m (0, w_m)
  $$
  가 되어, 모든 $Z$ 의 원소는 이 벡터들의 선형 결합으로 표현됩니다.

따라서 이 집합은 $Z$ 의 기저이며, 원소의 개수는 $n + m$ 입니다.

3. 결론

$$
\dim(Z) = \dim(V) + \dim(W) = n + m
$$

즉, $Z = V \times W$ 의 차원은 $V$ 의 차원과 $W$ 의 차원의 합입니다. $\square$