생성집합과 기저의 차이점

1. 생성집합(Span)

• 정의: 벡터 공간 $V$에서 생성집합은 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들어질 수 있는 모든 벡터들의 집합입니다.
• 수학적 표현:
  $$
  \text{Span}\{v_1, v_2, \dots, v_k\} = \left\{\sum_{i=1}^k c_i v_i \mid c_i \in \mathbb{R}\right\}
  $$
  여기서 $v_1, v_2, \dots, v_k$는 $V$의 벡터들입니다.
• 특징:
  • 생성집합은 주어진 벡터들이 "생성할 수 있는" 전체 공간을 나타냅니다.
  • 생성집합은 중복된 벡터나 선형 종속 벡터를 포함할 수 있습니다.

2. 기저(Basis)

• 정의: 벡터 공간 $V$에서 기저는 $V$의 모든 벡터를 유일하게 생성할 수 있는 벡터들의 집합입니다.
  즉, 기저는 벡터 공간을 표현하기 위해 필요한 최소한의 벡터 집합입니다.
• 조건:
  • 기저는 선형 독립이어야 합니다.
  • 기저는 벡터 공간 전체를 생성할 수 있어야 합니다 ($V = \text{Span}{v_1, v_2, \dots, v_k}$).
• 특징:
  • 기저의 크기(벡터의 개수)는 벡터 공간의 차원과 동일합니다.
  • 기저는 불필요한 중복 없이 공간을 완전히 표현합니다.

3. 차이점

구분	생성집합(Span)	기저(Basis)
정의	주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들어지는 모든 벡터의 집합	벡터 공간을 최소한의 선형 독립 벡터로 표현하는 집합
중복 허용 여부	선형 종속 벡터를 포함할 수 있음	항상 선형 독립이어야 함
크기(벡터 개수)	크기가 제한되지 않음	벡터 공간의 차원과 동일
유일성	특정 벡터를 여러 가지 방법으로 생성 가능	특정 벡터는 유일한 방법으로 생성 가능
목적	주어진 벡터들이 어떤 공간을 생성하는지 확인	벡터 공간을 가장 효율적으로 표현

4. 예시

(1) $\mathbb{R}^2$의 경우

• 벡터 $v_1 = (1, 0)$와 $v_2 = (0, 1)$를 생각해 봅시다:
  • 생성집합: $\text{Span}{v_1, v_2}$는 $\mathbb{R}^2$의 모든 벡터를 포함합니다.
  • 기저: ${v_1, v_2}$는 $\mathbb{R}^2$의 기저입니다. 이는 최소한의 선형 독립 벡터로 $\mathbb{R}^2$를 생성합니다.

(2) $\mathbb{R}^2$에서 선형 종속 벡터 포함

• $v_1 = (1, 0), v_2 = (0, 1), v_3 = (2, 0)$라면:
  • 생성집합: $\text{Span}{v_1, v_2, v_3} = \mathbb{R}^2$. 이 벡터들은 선형 종속이지만 여전히 $\mathbb{R}^2$ 전체를 생성합니다.
  • 기저: ${v_1, v_2}$는 선형 독립이며, $\mathbb{R}^2$의 기저입니다.

5. 요약

• 생성집합은 공간을 생성하는 데 필요한 모든 벡터들의 집합으로, 중복되거나 선형 종속된 벡터들을 포함할 수 있습니다.
• 기저는 공간을 생성하는 데 필요한 최소한의 독립된 벡터 집합으로, 불필요한 중복이나 종속이 없습니다.