2022. 4. 16. 11:50ㆍRay 수학
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오늘은 그래프의 사칙연산에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이 내용은 교과서나 문제집에서 정리되어 나와있지는 않지만 알음알음 또는 어깨너머로 배우는 내용일 것입니다. 굳이 알아야하냐 싶지만 그래프의 대략적인 모양을 유추할 때효과적이므로 한번 세세하게 정리해보도록 하겠습니다.
- 함수의 덧셈
그래프를 그리는 방법은 2가지만 기억하시면 됩니다. 첫번째는 함숫값이 0이 되는 x값을 생각해보자. 두번째는 개형이어떻게 될지 생각해보자입니다. 여기 x^2과 2x가 있습니다. 두함수를 더하면 어떻게 될까요? 물론 x^2+2x를 바로 그리면 되는거 아니냐 생각하실 수도 있지만 더 어려운 함수를 그리기 전에 하는 연습이므로 그래프를 직접 더해보는 연습을 하겠습니다.
우선 첫번째로 봐야할 것은 함숫값이 0이되는 x값입니다. 두 함수를 더했을 때 함숫값이 0이되는 경우는 두 함수의 함숫값이 절댓값은 같지만 부호가 다르거나 둘다 0일 때 입니다. 그리고 그 경우는 x=0일 때와 x가 0보다 작을 때 두가지경우입니다. x가 0보다 클 때는 둘 함수 모두 양수이므로 두 함수를 더해서 0이 나올 수 없습니다.
다음으로 봐야할 것은 함수의 증가감소, 오목볼록을 봐야합니다. 이를 가장 쉽게 확인할 수 있는 방법은 저번에도 말했던 최고차항의 차수와 계수를 관찰하는 것이죠. 함수의 최고차항의 차수는 2차 계수는 양수이므로 아래로 볼록하며 근은 2개를 가질 것입니다. 아까 근이 2개가 생기는 곳은 x=0일 때와 x가 0보다 작을 때 이었으므로 이를 바탕으로 함수를 그리면 됩니다.
- 함수의 뺄셈
다음으로는 x^2-2x의 그래프를 그려보도록 하겠습니다. 함수의 뺄셈도 덧셈과 같은 방법처럼 함숫값이 0이 되는 경우부터 보도록 하겠습니다. 두 함수를 뺐을 때 0이 되기 위해서는 두 함수의 함숫값이 같아야 합니다. 즉, 교점이죠. 두 함수가 만나는 점을 체크하고 그 값을 기준으로 최고차항의 차수와 계수를 고려해 아래로볼록하게 그림을 그리면 뺄셈그래프를 그릴 수 있습니다.
그런데 이 방법들은 실제로 해보시면 아시겠지만 속도가 조금 더딥니다. 그래서 조금 빨리 함수의 개형을 예측할 수 있는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.
일반적으로 빼기 뒤는 기준이므로 뒤에 있는 그래프를 기준으로하여 앞의 그래프의 변화량을 관찰해보겠습니다. 그래프를 그릴 때 기준은 x축이므로 이렇게 뒤에 있는 그래프를 기준이라 생각하고 앞에 있는 그래프가 뒤에 있는 그래프 보다 위에 있을 때는 양수에 아래에 있을 때는 음수에 그래프를 그리면 교점이 x축 위에 있는 두 그래프의 차를 그래프로 그릴 수 있습니다. 만약 뒤에 있는 그래프가 직선이라면 고개를 돌려 뒤의 그래프가 x축이라 생각하고 앞에 있는그래프를 바라본 것과 비슷하게 그래프가 그려지는 것을 확인할 수 있습니다.
여기까지하면 충분하지만 조금 더 나아가보겠습니다. 직선을 평행이동 시켜 이 부분에 접선을 만들게 되면 접점을 기준으로 앞의 그래프가 점점 멀어지다가 가까워지는 것을 알 수 있습니다. 즉 접선이 되는 이 점이 뺄셈을 했을 때 극점이 되는거죠. 평균값 정리를 직관적으로 응용해보시는 것도 좋은 방법입니다.
덧셈에서는 뺄셈과 같이 직관적으로 볼 수 있는 방법이 없을까요? x+sinx라는 예시를 가져와보도록 하겠습니다. 이 그래프를 그려보면 y=sinx의 증가율이 cosx이고 cosx의 치역은 -1과 1사이이므로 y=x의 증가율인 1보다 항상 작으므로 그래프의 교차 없이 다음과 같이 그려집니다. y=x를 따라서 sinx의 그래프가 올라가는 것 처럼 보이죠. 사실 절대적이진않지만 보통 덧셈 그래프는 한 그래프를 따라서 다른 그래프가 올라가는 형태를 띕니다. 이는 경향성이지 일반적인 것이 아니므로 덧셈 그래프를 많이 그려보시면서 익숙해져보는 것을 추천드립니다.
- 함수의 곱셈
다음은 곱셈입니다. 곱셈도 덧셈, 뺄셈과 마찬가지로 함숫값이 0이 되는 x의 값을 찾아야 합니다. 어떤 두 수를 곱해서0이 되기 위해서는 둘 중 적어도 하나는 0이어야 합니다. 다른 말로 두 그래프의 근을 확인해보도록하겠습니다. y=x^2-4의 근은 -2와 2이고, y=x의 근은 0 입니다. 따라서 두 함수의 곱은 근을 총 3개 -2,0,2에서 갖습니다. 일반적으로 개형을그린 후 점을 찍지만 저는 곱셈에 대해서는 근을 먼저 찍도록 하겠습니다. 다음으로 개형을 봐야하는데 곱셈은 이 부분이 정말 쉽습니다. 어떤 두 수가 모두 양수거나 음수일 때, 즉 부호가 같다면 곱해서 양수가 나오고, 두 부호가 다르다면음수가 나오는 것은 자명한 사실입니다. 이제 그래프에서 근을 기준으로 각 두 그래프의 부호를 보겠습니다. -2보다 작은 부분에서 y=x^2-4의 그래프는 양수지만 y=x그래프는 음수입니다. 따라서 곱하면 음수입니다. 이제 x=-2에서 0을 가져야하므로 음수에서 부터 근쪽으로 그래프를 그려줍니다. 다음으로 -2와 0 사이에서는 두 그래프 모두 음수이므로 곱하면 양수입니다. 그렇다면 -2와 0사이에서는 양수인데 -2와 0에서는 각각 x축을 지나야 하므로 그래프를 볼록하게 그려줍니다. 이 과정을 반복하면 다음과 같이 그래프를 그릴 수 있습니다. 말로는 천천히 설명했지만 실제로 해보신다면곱셈 그래프를 제일 빠르게 그리실 수 있을 것입니다.
- 함수의 나눗셈
드디어 마지막 함수의 나눗셈입니다. 나눗셈에 앞서 역수(?) 그래프를 그리는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. y=x^2을 이용해 y=1/x^2의 그래프를 그릴 수 있을까요? 역수를 취하면 일반적으로 큰 수는 작아지고 작은 수는 커집니다. 극단적으로 0으로 가는 수를 역수를 취하면 무한대로 발산하고, 반대로 무한대로 발산하는 수는 역수를 취하면 0으로 가죠. 이를 응용하여 x^2을 보면 함숫값이 0일 때는 무한대로 발산하게, 무한대로 발산하는 부분은 0으로 가게 그래프를 그려주시면 됩니다. 여기서 부호를 유지하면서 0으로 수렴하거나 무한대로 발산시킬 수 있도록 주의해주시면 됩니다.
예를들면 y=x을 이용해 y=1/x의 그래프를 그린다면 y=x가 음의 무한대로 발산할 때는 음의방향에서 0으로 수렴하게, y=x가 양의 무한대로 발산할때는 양의 방향에서 0으로 수렴하게 그려야 합니다. 반대로 y=x가 음의 방향에서 0으로 수렴하면 y=1/x는 음의 무한대로 발산하고 양의 방향에서 0으로 수렴하면 1/x는 양의 무한대로 발산한게 그려야합니다.
이제 나눗셈을 어떻게 할지 감이 오시나요? 앞에 배운 내용을 응용하여 f(x)/g(x)의 그래프를 그려야 한다면 먼저 g(x)의역수 그래프를 그리신 후 f(x)의 그래프와 곱하는 방법으로 그리시면 됩니다.
이과생들을 위해 조금 더 나아가 보도록 하겠습니다. 함수의 곱셈과 나눗셈도 함숫값이 0인 부분을 확인한 후 다음에함수의 증가, 감소, 오목, 볼록을 관찰해야합니다. 하지만 초월함수들은 최고차항이란 것이 없죠.(테일러 급수) 이때는 속도를 관찰해야합니다. 예를들어 e^x/lnx의 그래프를 그린다고 해보겠습니다 . 우선 lnx의 역수그래프를 보겠습니다. y=lnx는 x=0에서 음의 무한대로 발산, x=1에서 함숫값이 0, x가 커짐에 따라 양의 무한대로 발산합니다. 이 그래프를 역수 취해보면 1/lnx 그래프는 x=0에서 음의 방향에서 0으로 수렴, x=1-에서는 음의 무한대로 발산, x=1+에서는 양의 무한대로 발산합니다. 마지막으로 x가 커짐에 따라 양의 방향에서 0으로 수렴합니다.
여기서 잠깐 x=0을 관찰해겠습니다. lnx는 x=0에서 음의 무한대로 발산할 때 점점 빠르게 무한대로 발산합니다. 따라서 1/lnx는 0으로 수렴할 때 그만큼 빠른 속도로 0으로 수렴해야 합니다. 그렇다면 1/lnx는 0으로 수렴할 때 위로 볼록할까요? 아니면 아래로 볼록할까요? lnx는 x가 0으로 갈때 점점 더 빠르게 음의 무한대로 발산하는 것처럼 역수를취하면 점점 빠르게 0으로 수렴하므로 아래로 볼록하게 0으로 수렴해야한다는 것을 알 수 있습니다. 같은 방법으로x=1-에서 1/lnx를 관찰해보겠습니다. x=1-에서 함수는 음의 무한대로 발산합니다. 그런데 함수가 음의 무한대로 발산하는데 아래로 볼록하게 발산할 수 있을까요? 아래로 볼록하다는 것은 점점 속도가 느려진다는 건데 음의 무한대로발산하는데 그럴 수는 없습니다. 따라서 위로 볼록하게 그려야할 것입니다. 그렇다면 0 근처에서는 아래로 볼록, 1근처에서 위로 볼록이므로 0과 1사이 어딘가에서 변곡점을 갖는다는 것을 직관적으로 유추할 수 있습니다. 정확한 값은계산해야겠지만 굳이 증감표까지 찾아가면서 변곡점의 유무를 조사할 필요까지는 없죠.
이제 1/lnx에 e^x를 곱해보겠습니다. 우선 함숫값이 0이 되는 곳은 x=0밖에 없습니다. 그다음 x가 0과 1사이에서e^x는 양수, 1/lnx는 음수이므로 음수에 함수를 그려줍니다. 이때 e^x는 기껏해여 1에서 e사이의 값이지만 1/lnx는음의 무한대로 발산하므로 점근선까지 그려주시면 좋습니다. 다음으로 x가 1보다 클 때는 두 함수 모두 양수이므로양수에 그래프를 그려주시면 됩니다. x=1 근처에서 lnx가 무한대이므로 같은 방법으로 점근선을 따라가게 그리시면됩니다. 이제 마지막으로 lnx는 0으로 수렴하고 e^x는 무한대로 발산하는데 둘이 곱하면 어떻게 될까요? 0일까죠? 특정한 상수로 수렴할까요? 아니면 발산할까요? 여기서 속도가 중요합니다. lnx가 0으로 수렴하는 속도보다 e^x가 무한대로 발산하는 속도가 빠르기에 e^x를 따라 무한대로 발산하게 됩니다. 자세하게 속도비교를 하고싶다면 제 예전 로피탈 영상을 참고해쥐면 좋고 일반적으로 본다면 로그<다항<지수 순으로 속도가 빠르기에 이 속도를 기준으로 어디로발산하는지 직관적으로 판단하고 그래프를 그려주시기 바랍니다.
여기까지 그래프의 사칙연산에 대해 알아보았습니다. 백각이 불여일행이라고 꼭 보시는데서 끝내시기 말고 한 번 따라해보시기 바랍니다. 이 내용을 자신의 것으로 만드시면 그래프를 그리시는 데 도움이 되리라 장담하겠습니다. 저는학생들에게 이 내용을 설명 할 때 강박적으로 초월함수와 다항함수의 연산을 통한 그래프를 외우게 하다시피 연습시킵니다. 실제로 여러 예시를 그려보신다면 직관적으로 그래프가 어느 부분에서 아래로 볼록과 위로볼록이 바뀌는지무한대로 발산하는지 수렴하는지 직관적으로 이해하게 됩니다. 조금 고생하더라도 다양한 예시를 그려본다면 나중엔함수만 보아도 그래프가 어떤 모양으로 나올지 떠오르실 것입니다. 이 내용은 블로그에 pdf로 정리해두었으니 자유롭게 사용하시기 바랍니다. 다음시간에는 그래프의 평행, 대칭, 주기, 확대, 축소 그래프를 그리는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. 오늘 수업은 여기까지
백문이 불여일견(百聞而 不如一見)이요,
백견이 불여일각(百見而 不如一覺)이며,
백각이 불여일행(百覺而 不如一行)이라.
백번 듣는 것보다 한번 보는 게 낫고,
백번 보는 것보다 한번 깨우침이 나으며,
백번 깨우침보다 한번 행함이 낫다
고3을 위한 그래프 특강 - 1 | 그래프를 그리기 전에
고3을 위한 그래프 특강 - 3 | 평행이동, 대칭이동, 주기함수, 그래프의 확대, 축소
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