고3을 위한 그래프 특강 - 4 | 절댓값, 가우스 함수 그래프

그래프 완전 정복 5 - 절댓값, 가우스 함수.pdf

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이번시간에는 절댓값이 포함된 함수의 그래프와 가우스 함수의 그래프를 그리는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다. $y=|f(x)|$꼴의 함수처럼 많이 출제되는 형태의 문제가 아니라면 갑자기 문제가 나왔을 때 헷갈리는 경우가 있습니다. 분류에 따라 개형이 어떻게 생기는지 한 번 보시면서 문제풀이에 응용해보시기 바랍니다.

 

1. $y=|f(x)|$ 그래프

제일 흔하게 볼 수 있는 절댓값 함수의 모양입니다. 함수 전체에 절댓값을 씌운 형태죠. 절댓값은 쉽게 생각하면 입력값을 양수로 바꾸는 것입니다. 양수인 값은 그대로 양수에 음수인 값은 양수로 바꾸므로 $y$값 즉, 함숫값이 항상 0보다 크거나 같아야합니다. 이를 정리해 그리는 법을 알아보면 우선 1) $y=f(x)$의 그래프를 그린 후 2) $y \ge 0$인 부분은 그대로 두고 3) $y<0$인 부분은 $x$축에 대하여 대칭이동 시켜 양수부분으로 올려주면 됩니다.

 

2. $|y|=f(x)$ 그래프

기존의 절댓값 그래프와 조금 다르게 $y$에 절댓값을 씌운 형태입니다. $y$의 값에 관계 없이 항상 양수의 값이 나오게 되므로 앞서 본 절댓값 그래프와 마찬가지로 $y$가 양수인 부분만 남겨야합니다. 그리고 $|y|=|-y|$라고 할 수 있으므로 $|y|=f(x)$ 그래프는 $x$축에 대하여 대칭입니다. 이를 정리해 그리는 법을 알아보면 우선 1) $y=f(x)$의 그래프를 그린 후 2) $y<0$인 부분을 없애고 $y \ge 0$인 부분만 남깁니다. 3) 그리고 난 후 남은 부분을 $x$축에 대칭이동해 복사하면 됩니다. 함수 $f(x)$의 함숫값이 $\pm$ 모두 가능한 것을 생각하면 손쉽게 그래프를 그릴 수 있습니다.

 

3. $y=f(|x|)$ 그래프

함수에서 $x$에만 절댓값을 씌운 형태입니다. 자주 출제되는 형태의 그래프는 아닙니다. 앞서 본 그래프와 마찬가지로 $x$의 값에 관계없이 항상 양수가 나오게 되므로 $x$가 양수인 부분만 남겨야합니다. 그리고 $|x|=|-x|$이므로 $y=f(|x|)$ 그래프는 $y$축에 대하여 대칭입니다. 이를 정리해 그리는 법을 알아보면 우선 1) $y=f(x)$의 그래프를 그린 후 2) $x<0$인 부분을 없애고 $x \ge 0$인 부분만 남깁니다. 3) 그리고 난 후 남은 부분을 $y$축에 대칭이동해 복사하면 됩니다. 이전 그래프와 같이 비교해 본다면 손쉽게 그래프를 그릴 수 있습니다.

 

4. $|y|=f(|x|)$ 그래프

$x$와 $y$ 모두에 절댓값을 씌운 형태입니다. 이전 그래프의 특성을 모두 가진 그래프라고 생각하고 바로 그리는 법을 알아보면 우선 1) $y=f(x)$의 그래프를 그린 후 2)제 1사분면의 그래프만 남기고 2) $x$축, $y$축, 원점에 대하여 각각 대칭이동해 복사한 그래프를 그리면 됩니다. 제 1사분면의 그래프를 반복해 그린다는 점에서 $|x|+|y|=a$와 같이 예쁜 그래프를 만들 때 활용됩니다.

 

5. 가우스 함수 그래프

가우스 함수의 그래프를 그리기 이전에 가우스 함수에 대해 먼저 알아보도록 하겠습니다. 일반적으로 $y=[f(x)]$꼴로 표현하는데 이때, 대괄호로 나타낸 이 표시는 ($[x]$)는 $x$보다 크지 않은 최대 정수를 의미합니다. 예를 들어 $[2.5]=2$이고, $[3]=3$이죠. 양수일 때는 소수점 첫째자리 버림이라고 생각할 수 있습니다. 음수일 때는$[-4]=-4$이지만 $[-1.2]$는 $-1.2$보다 크지 않은 즉, 작거나 같은 최대 정수이므로 $-2$가 됩니다.

 

이 성질을 조금 더 관찰하면 $[1]=1$, $[1.3]=1$, $[1.99]=1$처럼 가우스 함수는 일정 범위 안에 있는 정의역값들에 대해 같은 함숫값을 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 이 성질을 이용해 $y=[f(x)]$를 그려보겠습니다. 우선 1) $y=f(x)$의 그래프를 그린 후 $y$축을 정수 단위로 나눕니다. 2) 정수 선과 원함수 사이의 교점을 찍은 후 정수 사이에 있는 함숫값들은 크지 않은 정수 즉, 아래 정숫값으로 옮깁니다. 두번째 과정을 이해하기 쉽게 설명하면 한 교점에서 다음 교점 전까지 그래프가 상승하는 방향으로 $x$축과 평행한 선을 그려주시면 편합니다.

 

예시를 보도록 하겠습니다. $y=[x^2]$를 그리기 위해 우선 $y=x^2$을 그립니다. 그 후에 $y$축을 정수단위로 나누어 만나는 점을 확인합니다. 이제 만나는 점을 기준으로 그래프가 상승하는 방향을 확인합니다. 후에 그 방향으로 $x$축과 평행한 선분을 그려줍니다. 이때, 가우스함수에서의 평행한 선분은 원함수와 함숫값이 정수인 부분의 교점부터 그 다음 교점 전까지 그려주시면 됩니다. 응용하여 $y=[-x^2+4]$와 같은 함수는 다음과 같이 그려주시면 됩니다.

 

절댓값함수와 가우스함수는 기존의 함수를 간단한 조작으로 어렵게 변환할 수 있어 다양하게 사용됩니다. 한 번쯤 정리해놓고 문제에서 만났을 때 포기하지 말고 해결해보시기 바라며 오늘 수업은 여기까지

 

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