이차곡선 시험 전에 꼭 알고 갔으면 하는 포물선의 성질 | 기하 정리 parabola property

 

오늘은 기하 시간에 배우는 가장 간단한 그래프인 포물선에 대해 알아보겠습니다. 포물선은 물건을 던졌을 때 나오는 궤적을 나타낸 선입니다. 포물선을 보기위해 실제로 물건을 던지기보다는 좌표평면 위에 올려두는게 포물선의 성질을 응용하기 좋기에 수업 시간에는 준선과 초점을 이용해 설명합니다.

 

포물선과 사각형

그림과 같이 포물선은 초점과 준선으로 부터 이르는 거리가 같은 점들의 모임입니다. 흔히 배우는 이차함수를 옆으로 눕혀놓은 모양이죠. 이제 포물선 위의 임의의 한 점 $P(a,b)$를 두고 성질을 관찰해보겠습니다. 점 $P(a,b)$에서 접선을 긋게 되면 접선의 방정식으로부터 $x$절편을 찾을 수 있습니다. 수업시간에 배운 공식을 이용하면 $x$축 절편의 값이 $-a$임을 알 수 있습니다. 포물선의 정의를 이용하기 위해 초점과 준선으로부터 $P(a,b)$와 접선의 $x$절편을 이어보도록 하겠습니다. $x$축에 생기는 점선의 길이와 점 $P(a,b)$에서 준선까지 이르는 거리는 좌표를 이용해 구하면 $a+p$가 되고 포물선의 정의에 의해 초점과 점 $P(a,b)$사이의 거리도 같으므로 마주보지 않는 다른 변도 $a+p$임을 알 수 있습니다. 따라서 마주보는 두 선은 항상 평행하며 그 길이도 같기에 점선으로 만든 사각형은 점 $P(a,b)$의 좌표에 상관없이 항상 마름모가 됩니다. 그러므로 마름모의 대각선인 접선은 점 $P(a,b)$로부터 준선과 초점을 이은 각을 이등분하게 됩니다.

여기까지는 많이 아시는 성질일텐데 조금만 더 나아가보도록 하겠습니다. 다른 대각선을 하나 더 긋게 되면 마름모에 성질에 의해 대각선의 교점은 서로 직교하는데 이 교점은 신기하게도 반드시 $y$축 위에 생기게 됩니다. 그리고 점 $P(a,b)$에서의 법선 즉 다른 대각선과 평행하게 선을 긋게 되면 평행사변형이 하나 생기게 됩니다. 따라서 점 $P(a,b)$에서의 법선의 $x$절편은 식을 통해 구하지 않아도 $a+2p$라는 것을 알 수 있습니다. 이렇게 보면 마름모와 평행사변형이 포개어진 그림이 보이실 것입니다. 이처럼 포물선에서는 평행한 보조선을 많이 그릴 수 있어 자명하게 같은 각들도 찾을 수 있고 이를 응용한 문제도 많이 나옵니다.

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포물선과 두 접선

다음으로 포물선의 준선에서 두 접선을 그엇을 때 생기는 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다. 그림과 같이 준선위의 임의의 점 $H$에서 포물선으로 두 접선을 그어보겠습니다. 그렇다면 두 접점이 생기게되는데 각각 $P$, $Q$라 두겠습니다. 특별해보일 것은 없지만 점 $H$를 이동해보면 $\angle PHQ$가 항상 일정해 보입니다. 확인해보기 위해 포물선의 성질을 응용해보겠습니다. 점$P$, $Q$에서 각각 준선에 수선의 발을 내린 후 $P$와 $Q$를 이어보면 $\overline{PQ}$를 이은 선이 반드시 초점을 지납니다. 신기하죠? 왜 그런지는 나중에 알아보고 우선 아까 보았던 $\angle PHQ$를 찾아보겠습니다. 그림을 보면 큰 사다리꼴이 있습니다. 사다리꼴의 한 빗변을 기준으로 이웃한 두 각의 합은 항상 $180^\circ$이며 이전에 보았던 접선의 성질에 의해 이 각은 각각 이등분 됩니다. 접선과 $\overline{PQ}$를 포함하는 삼각형에서 $\overline{PQ}$의 양 끝각의 합은 $90^\circ$이므로 $\angle PHQ$은 직각입니다. $\angle PHQ$이 직각임을 알았다면 $\overline{HF}$를 이어 서로 크기가 같은 각들을 확인할 수 있게 됩니다. 각을 찾아보면 네개의 작은 삼각형은 서로 닮음임을 알 수 있고 $\overline{PQ}$와 $\overline{HF}$도 직교함을 알 수 있습니다. 또한 네개의 닮음 삼각형으로 부터 $\overline{PQ}$가 초점을 지난다는 사실도 어렵게 않게 알 수 있습니다.

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기왕 그림을 그린김에 1등급을 목표로 하는 학생들을 위해 조금만 더 나아가보도록 하겠습니다. 처음에 말씀드렸다시피 포물선은 이차함수를 눕혀놓은 형태입니다. 따라서 포물선과 $\overline{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 공식을 이용해 ${|a||P’-Q’|^3 \over 6}$ 구할 수 있습니다. (단, $a$는 포물선을 역함수나 조작을 통해 $y=f(x)$꼴로 바꾸었을 때, $x^2$의 계수) 그리고 이차함수 밖에서 그은 접선의 성질에 따라 두 접선과 포물선이 이루는 부분의 넓이와 포물선 안쪽에 생기는 넓이는 $1:2$의 비율을 가지므로 안에 생기는 직각삼각형의 넓이는 ${|a||P’-Q’|^3 \over 4}$입니다. 마지막으로 접선을 공유하는 두 삼각형들은 서로 합동이기에 큰 사다리꼴의 넓이의 안에 생기는 직각삼각형의 넓이의 2배이므로 ${|a||P’-Q’|^3 \over 2}$입니다. 이를 이용하면 구하기 어려운 넓이나 길이를 조금 더 쉽게 구할 수 있습니다.

여기까지 포물선의 다양한 성질들을 알아보았습니다. 처음 보면 어려운 개념이지만 실제로 그래프를 조작해보면 직관적으로 성질을 관찰할 수 있을 것입니다. 과정을 따라 해보시면 더 오래 기억에 남으시니 꼭 다시 실습 해보시면서 자신의 것으로 만들어보길 바라겠습니다.