분수 미적분과 감마함수

미적분학을 배우면서 여러분은 고차 도함수에 익숙해졌을 것입니다. 첫 번째 도함수는 그래프의 기울기를 나타내고, 두 번째 도함수는 오목함을 나타내며, 이와 같은 방식으로 계속됩니다. 함수의 $n$차 도함수를 계산하는 것은 그 함수에 대해 $n$번 도함수를 구하는 것입니다. 이는 자연스럽게 이해됩니다. 그러나 분수 도함수를 구한다는 것은 무엇을 의미할까요? 오늘 우리는 분수 미적분학이라는 또 다른 미적분학의 가지를 탐구할 것입니다.분수 도함수이 표현은 여러 의미를 가질 수 있습니다. 먼저, 이를 반복적인 미분으로 생각할 수 있습니다. 함수의 $n$차 도함수를 구한다는 것은 그 함수에 대해 $n$번 미분을 수행하는 것을 의미합니다. 그러나 이는 양의 정수에 대해서만 의미가 있습니다. 이 표현을 다른 수로 확장..

혹시 절댓값의 정의를 기억하시나요? 절댓값이라는 단어를 들으면 대부분의 사람들은 양수나 $0$을 떠올립니다. 하지만 이것은 그저 언어적인 해석일 뿐, 수학적으로는 더 깊은 의미를 갖고 있습니다. 절댓값의 기호는 $\vert A \vert$이며, 이것은 원점에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 거리라고 할 수 있습니다. 여기서 재미있는 점은, 절댓값은 $\vert A - 0 \vert$로 표현될 수 있다는 것입니다. 이렇게 표현하면 절댓값이 0으로부터의 거리라는 것이 명확해집니다. 한 발짝 더 나아가보죠. 절댓값은 거리를 나타내는 개념이므로 방향이 없습니다. 즉, $\vert 5 - 0 \vert$와 $\vert -5 - 0 \vert$는 동일한 값을 가지게 됩니다. 왜냐하면 둘 다 원점으로부터 $5$만큼..

특정 규칙을 사용하면 빠르게 나눗셈 가능 여부를 판단할 수 있습니다. 숫자의 마지막 자리가 짝수($0, 2, 4, 6, 8$)이기만 하면 원래 수는 2의 배수, 마지막 두 자리가 4로 나눌 수 있으면(즉, $00, 04, 08, 12, 16, \cdots, 96$)원래 수도 4의 배수, 마지막 세 자리가 8로 나눌 수 있는 수(즉, $000, 008, 016, 024, \cdots, 992$)면 원래의 수도 8의 배수입니다. $$\begin{gather} 2 \,\vert , 3960\\ \because 2 \,\vert \, 0\\ \\ 4 \, \vert , 3960\\ \because 4 \,\vert \, 60\\ \\ 8 \, \vert \, 3960\\ \because 8 \,\vert \, ..

특정 규칙을 적용하면 어떤 수로 나누어 떨어지는지 빠르게 판단할 수 있습니다. 그런데 한 자리 수 중 오직 $7$만은 배운 기억이 없는데요. 2: 숫자의 마지막 자리가 짝수(0, 2, 4, 6, 8)이면 2로 나눌 수 있다. 3: 숫자의 각 자리 수를 더한 합이 3의 배수이면, 원래의 수도 3으로 나눌 수 있다. 4: 숫자의 마지막 두 자리가 4로 나눌 수 있는 수(즉, 00, 04, 08, 12, 16, ..., 96)이면 원래 수도 4로 나눌 수 있다. 5: 숫자의 마지막 자리가 0이나 5이면 5로 나눌 수 있다. 6: 숫자가 2와 3 모두로 나눌 수 있으면(즉, 짝수이면서 각 자리 수의 합이 3의 배수이면), 6으로 나눌 수 있다. 7: 7로 나누는 간단한 규칙은 없으며, 일반적인 나눗셈을 사용해야..

흔히 $1:1:\sqrt2$나 $1:2:\sqrt3$의 비율을 갖는 삼각형의 각의 크기는 누구나 다 알고 있습니다. 그런데 혹시 $3:5:7$의 비율을 갖는 삼각형의 각도 알고 있나요? 코사인법칙을 이용하면 길이가 $7$인 선의 대각은 $120^\circ$입니다. $$\begin{align} & 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos\theta\\ \Rightarrow \quad & 15 = -30\cos\theta\\ \Rightarrow \quad & \cos\theta = -\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \quad & \theta = 120^\circ \end{align}$$ 이를 이용하면 길이가 $3$인 정삼각형과 $5$인 정삼각형을 덧..