분수 미적분과 감마함수

미적분학을 배우면서 여러분은 고차 도함수에 익숙해졌을 것입니다. 첫 번째 도함수는 그래프의 기울기를 나타내고, 두 번째 도함수는 오목함을 나타내며, 이와 같은 방식으로 계속됩니다. 함수의 $n$차 도함수를 계산하는 것은 그 함수에 대해 $n$번 도함수를 구하는 것입니다. 이는 자연스럽게 이해됩니다. 그러나 분수 도함수를 구한다는 것은 무엇을 의미할까요? 오늘 우리는 분수 미적분학이라는 또 다른 미적분학의 가지를 탐구할 것입니다.

분수 도함수

이 표현은 여러 의미를 가질 수 있습니다. 먼저, 이를 반복적인 미분으로 생각할 수 있습니다. 함수의 $n$차 도함수를 구한다는 것은 그 함수에 대해 $n$번 미분을 수행하는 것을 의미합니다. 그러나 이는 양의 정수에 대해서만 의미가 있습니다. 이 표현을 다른 수로 확장하려면, 이 표현을 변환으로 생각해야 합니다. 이는 입력으로 함수를 받아 출력으로 함수를 주는 것이지 반복적인 미분이 아닙니다. 이제 우리는 $D^n f(x)$를 함수 $f(x)$를 $n$차 도함수로 변환하는 연산자로 봅니다.

분수 적분

표기법을 조금 정리해봅시다. 함수 옆에 $I$를 붙이면, 그 함수의 무한 적분을 의미합니다. 0부터 $x$까지의 적분입니다. 이전에 언급했듯이, 우리는 이것을 변환으로 생각할 수 있습니다. 이는 입력으로 함수를 받고 출력으로 함수를 제공합니다. 미분과 유사하게, 우리는 $n$차 적분을 나타내기 위해 지수와 같은 표기를 사용합니다. 예를 들어, 세 번째 적분은 다음과 같이 보입니다:

$$
I^3 f(x) = \int_0^x \int_0^{t_2} \int_0^{t_1} f(t) , dt , dt_1 , dt_2
$$

숫자가 증가함에 따라 표현은 점점 더 복잡해집니다. 복소해석학의 전설인 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)는 이를 훨씬 더 간단하게 보는 방법을 발견했습니다. 그는 다음 공식을 증명했습니다:

$$
I^n f(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) , dt
$$

이제 이 공식을 $n=2$에 대해 증명해 봅시다. 공식을 대입하면 다음과 같습니다:

$$
I^2 f(x) = \int_0^x (x-t) f(t) , dt
$$

단순화를 위해, $f(x)$의 두 번째 적분을 $G(x)$로 지정하겠습니다. 따라서 우리의 목표는 $G(x) = I^2 f(x)$임을 보여주는 것입니다. 적분의 성질을 사용하여 이를 두 개의 적분으로 나눌 수 있습니다:

$$
G(x) = \int_0^x (x-t) f(t) , dt = x \int_0^x f(t) , dt - \int_0^x t f(t) , dt
$$

이제 양변을 미분해 봅시다. 첫 번째 항은 곱의 법칙을 필요로 하고, 우리는 또한 미적분학의 기본 정리를 사용할 수 있습니다:

$$
G'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \int_0^x f(t) , dt \right) - \frac{d}{dx} \left( \int_0^x t f(t) , dt \right)
$$

모든 것을 평가하면, 이는 $f(x)$의 첫 번째 적분과 동일합니다:

$$
G'(x) = I f(x)
$$

$G(0) = 0$이므로, $G(x) = G(x) - G(0) = \int_0^x G'(t) , dt$이고, 이는 미적분학의 두 번째 기본 정리에 따라 $f(x)$의 두 번째 적분과 동일합니다. 따라서 우리는 $G(x) = I^2 f(x)$임을 증명했습니다. 이 공식은 $n=2$에 대해 작동합니다. 모든 양의 정수 $n$에 대한 증명은 이항 정리를 사용하여 할 수 있지만, 이는 여러분이 해결해야 할 도전 과제로 남기겠습니다. 이제 이 공식이 모든 양의 정수 $n$에 대해 작동한다고 가정해 봅시다. 이제 진정한 질문은 이 함수를 양의 수 전체에 대해 어떻게 정의하느냐입니다. 해답은 감마 함수에 있습니다.

감마 함수

감마 함수는 다음과 같이 정의됩니다:

$$
\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1} e^{-t} , dt
$$

이 함수는 모든 양의 실수에 대해 정의됩니다. 또한, 감마 함수는 다음과 같은 관계를 가집니다:

$$
\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)
$$

특히, $n$이 양의 정수일 때, $\Gamma(n+1) = n!$이 됩니다. 이 속성을 사용하여, 우리는 $(n-1)!$을 감마 함수로 대체할 수 있습니다. 이를 통해 $n$이 양의 정수가 아닌 경우에도 공식이 확장됩니다.

따라서 분수 적분은 다음과 같이 정의됩니다:

$$
I^n f(x) = \frac{1}{\Gamma(n)} \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) , dt
$$

여기서 $n$은 양의 실수입니다. 이 공식을 통해 우리는 분수 적분과 도함수를 계산할 수 있습니다. 이는 미적분학의 강력한 확장으로, 물리학, 공학, 금융 등 다양한 분야에서 응용됩니다.