고3을 위한 그래프 특강 - 5 | 합성함수 그래프 그리기 (합성 함수의 그래프를 쉽게 그리는 방법, N축 쓰지 않음)

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그래프 완전 정복 5 - 합성함수.pdf

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드디어 그래프의 그리기의 마지막 단계 합성함수입니다. 고1 학생들이 가장 그리기 힘들어하는 그래프이기도 한데요. 합성함수의 개념을 간단히 다룬 후 예시를 통해 합성함수를 그리는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

1. 합성함수의 개념

합성함수란 $f:X→Y$와 $g:Y→Z$라는 두 함수에 대하여 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산입니다. 쉽게 생각해 일반적인 함수는 $x$값에 따라 $y$값, 즉 함숫값이 바로 생기는데 반해 합성함수는 이 과정을 연달아하게 되면서 새로운 함수 $g \circ f : X → Z$를 만들게 됩니다. (단, $f$의 치역이 $g$의 정의역의 부분집합이어야만 합성함수 $g \circ f$을 정의할 수 있다.)

 

합성함수가 기존의 함수들과는 다른 가장 큰 차이점은 접합부가 생긴다는 것입니다. 이 중간과정을 처리하는 것이 합성함수를 이해하고 처리하는 핵심이죠. 합성함수를 말로 풀어보면 다음과 같습니다. 우선 $x$가 변해감에 따라 $y$가 어떻게 변화하는지 관찰하고, 그 $y$의 변화에 따라 $z$가 어떻게 변화하는지 봅니다. 마지막으로 $y$를 생략하고 $x$가 변화할 때, $z$가 어떻게 변화하는지 보여줍니다. 결과적으로 접합부인 $Y$는 함수의 결과에 영향을 미치긴하지만 그리거나 설명할 때는 보여지지 않습니다. 예시를 들어 보죠.

 

 

2. 자기 자신을 합성한 함수

가장 자주 사용하는 예시의 함수부터 합성해보도록 하겠습니다. 다음 그림과 같은 함수 $f(x)$에 대하여 $f^2(x)=f \circ f(x)$ 즉, 자기 자신을 합성한 함수를 그려보도록 하겠습니다. 합성한 함수의 그래프를 그릴 때는 첫번째 함수의 함숫값을 다시 정의역으로 하여 함숫값을 찾아야하므로 $y=x$를 같이 그려 합성함수의 그래프를 찾는 것이 편합니다.

 

우선 $f(x)$와 $y=x$의 교점부터 보도록 하겠습니다. 이 그래프에서의 교점은 $(1,1)$입니다. $x=1$일 때의 함숫값은 $f(1)=1$입니다. 다음으로 첫번째 나온 함숫값을 정의역($x=f(1)$)에 넣어야 하기에 함숫값을 $y=x$에 대칭시킨 점을 찾아 다시 함숫값을 찾으면 $f(f(1))=1$입니다. 대칭시킨 점은 함숫값에서 $x$축과 평행하게 $y=x$까지 이르는 점을 찾은 후 그 점에서 $x$에 내린 수선의 발을 찾으면 편합니다. 이제 중간 과정은 생략하고 $x=1$일 때, $f(f(1))$의 값 $1$을 그래프에 찍어주면 다시 교점이 되는 것을 확인할 수 있습니다. 이처럼 $f(x)$와 $y=x$의 교점은 합성해도 $f(x)$와 $y=x$의 교점이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

 

이제 교점이 아닌 점, 예를 들어 $x=2$일 때, $f(f(2))$의 값을 찾아보겠습니다. $x=2$일 때의 함숫값 $f(2)$을 찾은 후 $y=x$ 대칭을 이용해 함숫값을 다시 정의역에 넣어 $f(f(2))$의 값을 찾습니다. 이제 중간 과정을 생략하고 $x=2$일 때, $f(f(2))$의 값을 찍어주면 다음과 같이 합성함수의 함숫값을 찾을 수 있습니다. 기존의 함숫값보다 더 큰 것을 볼 수 있습니다.

 

다른 한 점만 더 보겠습니다. $x=6$일 때, $f(f(6))$의 값을 찾아보겠습니다. $x=6$일 때의 함숫값 $f(6)$을 찾은 후 $y=x$ 대칭을 이용해 함숫값을 다시 정의역에 넣어 $f(f(6))$의 값을 찾습니다. 이제 중간 과정을 생략하고 $x=6$일 때, $f(f(6))$의 값을 찍어주면 다음과 같이 합성함수의 함숫값을 찾을 수 있습니다.

 

이 과정을 반복하여 점을 찍어 부드럽게 이어주면 합성함수의 그래프 개형을 확인할 수 있습니다. 앞으로의 과정도 이를 응용하는 방법으로 그리기에 이 과정에 익숙해지시기 바랍니다. 더하여 자기 자신을 합성한 함수의 모양을 보면 원함수와 $y=x$가 만나는 점을 기준으로 원함수와 비교하여 위에 있는 곳은 더 위에, 아래에 있는 곳은 더 아래에 그려지는 것을 확인할 수 있습니다. 이 성질이 모든 점에서 항상 성립하는 것은 아니며 원함수와 $y=x$가 만나는 점 사이에서 오목, 볼록이 바뀌면 성립하지 않지만 이러한 경향성이 있다는 정도만 알고 가셔도 좋습니다.

 

 

3. 합성 함수 그리기

서로 다른 함수를 합성한 그래프를 그려보도록 하겠습니다. $f$와 $g$가 다음 그림과 같이 정의되었을 때, 합성함수 $(g \circ f)(x)$의 그래프를 그려보겠습니다. 합성함수를 그리는 법을 다시 한 번 되새겨 보면 다음과 같습니다.

 

💡 $x$가 변해감에 따라 $y$가 어떻게 변화하는지 관찰하고, 그 $y$의 변화에 따라 $z$가 어떻게 변화하는지 본다.

마지막으로 $y$를 생략하고 $x$가 변화할 때, $z$가 어떻게 변화하는지 보여준다.

 

 

여기에서 가장 많이 언급되는 변수는 $y$입니다. $y$는 결과적으로 생략되지만 가장 큰 일을 하고 있죠. 따라서 합성함수는 $y$ 즉, 합성되는 함수의 함숫값을 분석하는 것이 핵심입니다. 이해하기 쉽게 $g$의 정의역과 치역의 문자를 바꿔보겠습니다.

 

이제 그래프를 그려보겠습니다. 먼저 $f$에서 함숫값이 가장 눈에띄게 바뀌는 곳은 어디라고 보시나요? 저는 $x=1$일 때 라고 봅니다. 왜냐하면 함수에 첨점을 기준으로 증가, 감소가 바뀌기 때문이죠. $x=1$전 까지 함수값은 $1$에서 $2$까지 꾸준히 증가합니다. 따라서 이 부분을 따로 빼내어 합성함수를 보겠습니다. $x$가 $0$에서 $1$까지 증가할 때, $y$는 $1$에서 $2$까지 증가합니다. 합성함수는 $y$가 변함에 따라 $z$가 어떻게 변하는지 봐야하므로 $g$의 정의역이 $1$부터 $2$까지 변할 때 함숫값을 보면 $z$는 $0$에서 $2$까지 증가합니다. 이제 중간 과정을 생략하면 $x$가 $0$에서 $1$까지 증가할 때, $z$는 $0$에서 $2$까지 증가합니다. 따라서 이 부분을 그래프에 그려보면 다음과 같습니다.

 

남은 부분도 보죠. $x$가 $1$부터 $2$까지 변할 때, $y$의 값은 $2$부터 $0$까지 감소합니다. 합성함수는 $y$가 변함에 따라 $z$가 어떻게 변하는지 봐야하므로 $g$의 정의역이 $2$부터 $0$까지 변할 때 함숫값을 보면 $z$는 $2$에서 $0$까지 감소하다가 다시 $1$로 증가합니다. 이제 중간 과정을 생략하면 $x$가 $1$에서 $2$까지 증가할 때, $z$는 다음과 같이 그려집니다. 혹시나 처음 보시는 분들은 합성함수 그래프는 뒤집어져서 그려지나 오해할 수 있습니다. 이렇게 된 이유는 방향 때문에 그렇습니다. 합성함수의 그래프를 그릴 때는 $x$가 항상 증가하는 방향으로 그리게 됩니다. 그런데 중간에 $y$가 감소하면서 $2$에서 $0$으로 가는 방향으로 그래프를 관찰했으므로 이를 이용해 합성함수의 그래프를 그릴때는 $x$가 증가하는 방향에 따라 펼쳐서 그려야 하는거죠.

 

이를 응용하면 $(g \circ f)(x)$뿐만 아니라 $(f \circ g)(x)$의 그래프도 그릴 수 있습니다. 이렇게 보면 합성함수는 교환법칙이 성립되지 않는 것도 바로 확인할 수 있죠. 이처럼 함수의 극점을 기준으로 각 부분을 관찰하는 방법을 응용하면 함수식을 구하지 않고도 다양한 합성함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있습니다.

 

 

4. 합성 함수 그리기의 응용점과 특징

이 방법의 응용점과 특징에 대해 자세히 보도록 하겠습니다. 이 방법은 합성함수의 개형을 빠르고 정확하게 구할 수 있습니다. 특히 그래프의 사칙연산에서 배운 방법을 응용하면 개형을 더 정확하게 구하실 수 있습니다. 다음으로는 합성되는 함수의 함숫값 변화가 합성함수에서 정의역의 길이로 반영됩니다. 예를들어 $y=\sin(x^2)$라는 함수를 보도록 하겠습니다. $x^2$은 $x$값이 증가함에 따라 함숫값이 빠르게 증가합니다. 따라서 $\sin(x)$에 $x^2$을 합성하게 된다면 $x$값이 더 빨리 출력되며 가면 갈 수록 더 빠르게 진동하는 것을 볼 수 있습니다. 예전 예시에서도 함숫값이 $2$만큼 변화하면서, 그래프가 축소된 모습을 볼 수 있었는데 이 점을 유의하시면 조금 더 정확한 그래프를 구할 수 있습니다. 하지만 이 방법의 장점만 있는 것은 아닙니다. 이 방법은 개형을 그리는데 특화되어 있어 만약 특정한 점에서의 특징을 묻는 문제가 나온다면 미분을 통한 추가작업이 필요합니다. 그리고 이 방법이 익숙해지는데는 시간과 노력이 많이 들어갑니다.

 

그러나 여러분들이 한 단계 더 나아가기 위해 힘들지만 노력하신다면 이 영상은 분명 도움이 되실 것이라 장담합니다. 여기까지 5편의 그래프 그리기 특강을 마무리 지으려합니다. (5편이라기엔 중간에 번외편도 있었고, 다음 영상도 번외편인 함수의 오목과 볼록인건 안비밀) 꼭 한 번은 영상으로 정리해보고 싶었는데 다행히 잘 마무리 된 것 같습니다. 몇 편만 더 중,고등학생용 수업자료를 만들고 다시 제가 하고싶은 교양 수학 내용으로 찾아뵙겠습니다. 오늘 수업은 여기까지

 

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