수능 전에 5분만 보고 들어가세요. 등급이 바뀝니다. | 중학교 도형, 기하 총정리 | 미적분 선택자가 알아야할 기하 내용

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중학교때 배운 도형의 성질을 다 기억하고 계신가요? 도형의 성질과 관련된 내용을 꾸준히 복습하지 않는다면 시험에 나왔을 때 문제가 풀리지 않아 당황하게 됩니다. 중학교때 배운 내용이라 다시 보면 기억이 되살아 나기에 고등학교 문제풀이에 많이 응용되는 내용을 중심으로 직관적으로 성질들을 정리해보도록 하겠습니다.(필요한 내용이 있다면 챕터를 건너뛰면서 보시기 바랍니다.)

 

각과 비율

• 평행선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 교각 중 한 직선에서 보아 같은 위치에 있는 두 개의 각을 ‘동위각’,서로 반대쪽에서 상대하는 각을 ‘엇각’, 서로 이웃하지 않는 것은 ‘맞꼭지각’이라 하며 이때 이 각의 크기는 항상 같습니다.

 

• 평행선과 만나는 서로 다른 두 직선이 만드는 길이들은 서로 일정한 비율을 유지합니다.

 

• 평행선 안에서 생기는 도형들의 넓이비는 밑변의 길이비와 동일합니다. 특히, 밑변의 길이가 같다면 넓이는 항상 같게되는데 이를 ‘등적변형’이라 합니다.

 

• 삼각형의 한 꼭짓점에서 각의 이등분선이 마주보는 변과 만나서 생기는 점은 변을 다른 두 변의 길이비로 내분합니다. (각 $A$의 이등분선이 변 $\overline{BC}$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD}$를 만족한다.)

 

• 한 변의 연장선과 그 이웃한 변이 만드는 각을 ‘외각’이라 합니다. 외각의 이등분선이 마주보는 변의 연장선과 만나는 점이 있을 때 다음과 같은 비율 관계를 갖습니다. ($A$ 외각의 이등분선이 변 $\overline{BC}$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD}$를 만족한다.)

 

 

내심

• 삼각형에는 내접하는 원이 반드시 하나 존재하는데 이 원을 ‘내접원’이라 하며 내접원의 중심을 ‘내심’이라 합니다.

 

• 내심은 세 각의 이등분선의 교점으로 구할 수 있습니다.

 

• 내심은 내접원의 중심이므로 내심으로부터 세 변에 수선의 발을 내렸을 때 각 길이는 내접원의 반지름으로 서로 같습니다.

 

• 내심에서 각 꼭짓점으로 이은 선끼리 이어서 만든 각은 대응하는 각의 절반에 $90^\circ$를 더한 값과 같습니다.

 

• 내접원의 반지름을 $r$이라 하면 삼각형의 넓이는 $S={1 \over 2}r(a+b+c)$입니다. (내접원의 반지름과 삼각형의 둘레의 길이를 곱한 값의 절반)

 

 

외심

• 삼각형에는 외접하는 원이 반드시 하나 존재하는데 이 원을 ‘외접원’이라 하며 외접원의 중심을 ‘외심’이라 합니다.

 

• 외심은 세 변의 수직 이등분선의 교점으로 구할 수 있습니다.

 

• 예각삼각형의 외심은 삼각형 내부에, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에, 둔각 삼각형의 외심은 삼각형 외부에 존재합니다.

 

• 삼각형의 두 점을 잇는 호에 대하여 그 두 점이 아닌 마주보는 꼭짓점의 각을 호에 대한 ‘원주각’이라 합니다. 원주각의 크기는 호와 원의 중심을 이은 부채꼴에 생기는 중심각의 크기의 절반이입니다.

 

• 외접원의 반지름을 $R$이라 하면 사인 법칙(${a \over sinA}={b \over sinB}={c \over sinC}=2R$)을 만족하며 삼각형의 넓이는 $S={abc \over 4R}$로 구할 수 있습니다.

 

 

원

• 원의 중점을 지나는 직선은 원을 이등분 합니다.

 

• 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같고 이 점과 접선을 이루는 각의 이등분선은 원의 중심을 지나게 됩니다.

 

• 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 항상 $180^\circ$입니다.

 

• 사각형이 원의 외접할 때 각 대변의 길이의 합은 같습니다. 또한 원의 반지름이 $r$일 때, 외접하는 사각형의 넓이 $S={1 \over 2}r(a+b+c+d)$입니다. (내접원의 반지름과 사각형의 둘레의 길이를 곱한 값의 절반)

 

• 두 원이 두 점에서 만날 때, 두 교점을 이은 선은 두 원의 공통현이 됩니다. 이 때 두 원의 중심을 이은 선분은 공통현을 수직이등분 합니다.

 

• 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 각 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같습니다.

 

• 원의 두 현의 교점을 $P$라 하면 $\overline{PA} \times \overline{PB} =\overline{PC} \times \overline{PD}$가 성립합니다. 그리고 이는 $P$를 원 밖으로 이동해도 성립합니다. 이를 응용하면 원 밖의 한 점 $P$에서 그은 접선과 할선을 볼 때 $\overline{PT}^2=\overline{PA} \times \overline{PB}$임을 알 수 있습니다.

 

 

직각삼각형

• 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선의 발을 내리면 이 때 생기는 세 삼각형은 서로 닮음입니다.

 

• 이 때 비율관계를 응용하면 빗변에 생기는 짧은 선과 빗변의 길이의 곱은 대응하는 변의 길이의 제곱과 같습니다.($c^2=ax$, $b^2=ay$)

 

• 넓이를 이용하면 “소” 모양을 따라 생기는 두 선의 길이의 곱은 같습니다. ($bc=az$)

 

 

무게중심

• 삼각형에서 한 변의 중점과 마주보는 꼭짓점을 잇는 선분을 ‘중선’이라 합니다. 이러한 중선은 밑변의 길이를 절반으로 나누기에 넓이도 반으로 나누게 됩니다.

 

• (정의)삼각형의 세 중선은 반드시 한 점에서 만나게 되는데 이 점을 ‘삼각형의 무게중심’이라 합니다.삼각형의 무게중심은 각 중선을 꼭짓점으로부터 $2:1$로 나눕니다.

 

• 그리고 이렇게 생긴 $6$개의 삼각형의 넓이는 같습니다.

 

• 고등학교에 오시면 세 꼭짓점 좌표의 평균으로 무게중심의 좌표를 구할 수 있습니다.