고3을 위한 그래프 특강 외전 2 | 그래프의 오목, 볼록

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1. 볼록의 정의

우리가 보는 함수의 그래프들 중 많은 그래프들이 툭 튀어나오는 커브의 형태를 가집니다. 이러한 특징을 분석하기위해 임의의 두 점을 이어 선을 그릴 때 이 선보다 그래프가 위에 있으면 위로 볼록(Concave Function, 오목 함수), 아래에 있으면 아래로 볼록(Convex Function, 볼록 함수)이라고 표현합니다. 언어적으로 볼록은 ‘어떤 물체의 일부분이 튀어나왔거나 도드라져 있는 상태를 일컫는 말’인 반면 일반적으로 수학에서는 볼록을 다음과 같이 정의합니다. 글로 표현하면 어려워 그림으로 보겠습니다.

도형 내부에 있는 임의의 두 점을 이은 선분이 도형에 포함된다면 그 도형은 볼록하다.
Let $S$ be a vector space. subset $C \subset S$ is convex, if $\forall x$ and $\forall y$ in $C$, $(1-t)x+ty \subset C$$(t \in [0,1])$

우리가 흔히 교과서에서 보는 도형들은 임의의 두점을 연결할 때 연결하는 선분은 다시 도형 안에 포함됩니다. 그런데 다음과 같이 도형을 변형하면 도형내 임의의 두 점을 이은 선분이 도형 바깥으로 나오는 부분이 생기게 됩니다. 이러한 도형을 오목도형 이라 부릅니다. 엄밀하게보면 그래프는 볼록집합은 아니지만 그냥 모양으로만 위로 볼록, 아래로 볼록을 나누었다 보면 좋습니다.

 

2. 함숫값으로 본 볼록함수

우리가 자주 다루는 위로 볼록한 함수는 일반적으로 다음과 같이 정의합니다.

$f(tx+(1-t)y) \ge tf(x)+(1-t)f(y)$ 단, $t \in [0,1]$

함숫값들에 대한 내분점을 이용해서 정의하는 형태인데요. 이 표현에 대해 차근차근 보도록 하겠습니다.

예를 들어 $1$과 $2$에 대해 다음과 같이 $t$와 $(1-t)$를 곱한다고 해보겠습니다. 이때, $t$를 $0$에서 $1$까지로 정의한다면 어떤 현상이 일어날지 보겠습니다. 만약 $t=0$이라면 $(1-t)=1$이므로 이 식의 결괏값은 $2$가 나옵니다. 반면에 $t=1$이라면 $(1-t)=0$이므로 이 식의 결괏값은 $1$이 나옵니다. 이는 $t$의 값이 변함에 따라 초깃값이 $1$ 또는 $2$가 나오는 것을 알 수 있습니다. 그렇다면 $t={1\over2}$이라면 어떻게 될까요? $(1-t)={1\over2}$이므로 $1$과 $2$에 각각 ${1\over2}$가 곱해지면서 평균이자 중점인 ${3\over2}$이 나오게 됩니다. 만약 $t$가 $0$과 $1$사이의 임의의 실수라면 그림과같이 식이 의미하는 값들이 바뀌게 됩니다. 이를 통해 이 식은 초기에 설정한 두 값의 내분점을 만드는 식이라는 것을 알 수 있습니다. 물론 $t$의 범위를 확장하면 외분점도 구할 수 있습니다만 여기서 굳이 다루지는 않겠습니다.

다시 위로 볼록한 함수식을 보도록 하겠습니다. 방금 배운 내용을 응용하면 좌변의 식은 $x$와 $y$의 내분점의 함숫값을 의미합니다. 반면에 우변은 $x$의 함숫값과 $y$의 함숫값의 내분점을 의미합니다. 그림에서보면 좌변식은 빨간색 점과 같이 함수를 따라가며, 우변식은 주황색 점과 같이 두 함숫값을 이은 선분을 따라갑니다. 위로볼록일 때 빨간점은 항상 주황색 점보다 위에 있으므로 좌변이 항상 우변보다 크게 됩니다. 반대로 아래로 볼록한 함수는 어떻게 될까요? 아래로 볼록인 경우는 주황색점이 빨간색 점보다 위에 위치하게 되므로 같은 식에서 부등호의 방향만 바꾸면 됩니다.

암기를 하실때는 직선식과 함수를 비교하는 방법으로 외워 문제풀이에 사용하면 좋습니다. 함숫값 뿐만 아니라 다른 식을 통해서도 위로 볼록과 아래로 볼록을 표현할 수 있는데요. 위로 볼록식을 중심으로 아래로 볼록은 부등호 방향만 바뀌므로 위로 볼록식을 중심으로 내용을 정리해보겠습니다.

 

3. 기울기로 본 볼록함수

학교 수학에서 볼록함수는 함숫값보다 기울기의 변화 관점에서 주로 다룹니다. 따라서 기울기를 통해 볼록함수를 구분하는 4가지 방법에 대해 소개하겠습니다.

 

첫번째는 평균변화율의 변화를 관찰하는 방법입니다. 위로 볼록인 함수에서 임의의 세 점을 선택해 $x$의 좌표가 작은 순서대로 $A$, $B$, $C$라 할 때, 선분 $\overline{AB}$와 $\overline{BC}$의 기울기 즉, 평균변화율을 비교하면 점을 이동하더라도 $\overline{AB}$의 기울기가 $\overline{BC}$의 기울기보다 반드시 큰 것을 볼 수 있습니다.

${{f(b)-f(a)}\over{b-a}} > {{f(c)-f(b)}\over{c-b}}$

 

비슷하게 두번째로 한 점을 고정시켜두고 평균변화율을 관찰하면 선분 $\overline{AB}$의 기울기가 선분 $\overline{AC}$의 기울기보다 큰 것을 관찰할 수 있습니다.

${{f(b)-f(a)}\over{b-a}} > {{f(c)-f(a)}\over{c-a}}$
만약 $A$가 원점이라면, 위 식은 ${{f(a)}\over{a}} > {{f(b)}\over{b}}$

 

특히, 만약 $A$가 원점이라하고 다른 두 점을 각각 $A$, $B$라 하면, 위 식은 ${f(a)\over a}>{f(b) \over b}$로 바꿀 수 있으며 이를 조작하면 $bf(a)>af(b)$꼴로 바꿀 수 있습니다. 시험에서는 이처럼 변형된 꼴로 자주 출제됩니다.

 

앞에 2가지 과정을 통해 위로볼록에서는 $x$좌표가 커져감에 따라 평균변화율이 감소한다는 것을 알 수 있습니다.

다음으로 순간변화율의 관점에서 보도록하겠습니다. 위로 볼록인 함수에서 임의의 두 점을 선택해 $x$의 좌표가 작은 순서대로 $A$, $B$라 할 때, 점 $A$의 접선의 기울기 $f^\prime(a)$와 점 $B$의 접선의 기울기 $f^\prime (b)$를 비교하면 $A$의 접선의 기울기가 $B$의 접선의 기울기보다 항상 큰 것을 알 수 있습니다.

$f^\prime(a)>f^\prime(b)$

 

위로 볼록인 함수들은 점을 이동하더라도 이 성질이 유지되기에 $x$좌표가 커져감에 따라 순간변화율이 감소하므로 순간변화율의 변화율 즉, $f^{\prime\prime}(x)<0$임을 자명하게 얻어낼 수 있습니다.

 

마지막으로 순간변화율과 평균변화율을 비교해보겠습니다. 위로 볼록인 함수에서 임의의 두 점을 선택해 $x$의 좌표가 작은 순서대로 $A$, $B$라 할 때, 점 $A$의 접선의 기울기 $f^\prime(a)$와 선분 $\overline{AB}$의 기울기를 비교하면 순간변화율이 평균변화율보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 이 식뿐만 아니라 다른 식도 다양하게 변형이 가능하며 이처럼 변형된 꼴도 시험에 자주 출제됩니다.

$f^\prime(a)>{{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ $→(b-a)f^\prime(a)>f(b)-f(a)$ $→(b-a)f^\prime(a)+f(a)>f(b)$

 

 

4. 적분으로 본 볼록함수

미분을 보았으니 이제 적분의 관점에서 볼록함수를 보도록하겠습니다. 그림과 같이 위로 볼록인 함수에서 임의의 두 점을 선택해 $x$의 좌표가 작은 순서대로 $A$, $B$라 두겠습니다. 점 $A$, $B$에서 $x$축으로 수선의 발을 내렸을 때의 점을 각각 $a$, $b$라 할 때, 선분 $\overline{AB}$와 $x$축, 수선으로 둘러싸인 사다리꼴의 넓이와 $a$에서 $b$까지의 적분값 $\int_a^bf(x)dx$을 비교해보겠습니다. 위로 볼록한 함수라면 선분 $\overline{AB}$ 위로 넓이가 더 생기게 되므로 적분값의 크기가 사다리꼴의 넓이보다 큰 것을 알 수 있습니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다. 이 식 또한 양변에 $2$를 곱하는 등 다양하게 변형이 가능한데 사다리꼴의 넓이 식을 이해하고 있다면 손쉽게 문제의 핵심을 파악할 수 있습니다.

$\int_a^b f(x)dx>{{(b-a)(f(a)+f(b))}\over{2}}$

 

여기까지 다양한 방법으로 위로 볼록한 함수의 식들을 알아보았습니다. 이전에 말했듯 아래로 볼록인 함수는 지금까지 본 식에서 부등호만 바꾸면 됩니다. 문제에서 식에 부등호가 들어있다면 한 번쯤은 오목과 볼록을 응용하라는 문제이지 않을까 의심해보셔도 좋을 것 같습니다. 그리고 위 식들에서 부등호가 아닌 등호로 연결되어있다면 함수가 직선이라는 사실도 어렵지 않게 유도하실 수 있을 것입니다. 앞으로 오목, 볼록 문제를 손 쉽게 해결하시기 바라며 오늘 수업은 여기까지

 

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