고3을 위한 그래프 특강 - 3 | 평행이동, 대칭이동, 주기함수, 그래프의 확대, 축소

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그래프 완전 정복 3 - 평행, 대칭, 주기, 확대, 축소.pdf

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이번시간부터는 식을 보며 그래프의 개형이 어떤 형태일까 생각해보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 식이 유도되는 방법은 학교에서 다 배웠다는 가정하에 빠르게 지나가고 배운 내용을 정리하면서 그래프의 개형을 관찰해보도록 하겠습니다.

1. 평행이동

평행이동은 함수의 그래프를 $x$축 방향 또는 $y$축 방향으로 이동함을 의미합니다. 이를 구하는 식은 저번 '빼기 뒤는 기준'임을 설명하는 영상에서 설명해서 결괏값만 이용하면 $x$대신 $x-p$, $y$대신 $y-q$를 대입하면 $f(x)$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 이동했다고 해석하시면 됩니다. 예를들어 $(x+1)^2+(y-2)^2=1$와 같은 방정식을 보면 원점을 중심으로 반지름의 길이가 $1$인 원의 방정식은 $x^2+y^2=1$이며 $x$대신 $x-(-1)$, $y$대신 $y-2$를 대입했으므로 단위원을 $x$축 방향으로 $-1$만큼, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동하게 그리시면 됩니다.

2. 대칭이동

대칭이동은 그래프가 있을 때 그 그래프를 거울에 비추어 보듯 대칭하여 그리는 것을 의미합니다. 제 기억이 맞다면 점대칭 도형과 선대칭 도형을 그리는 걸 초등학교 3학년때 배우는데 이를 그래프에서 해보는거죠. 다음과 같은 그래프가 있을 때 $x$축에 대해 대칭인 그래프는 다음과 같이 생기게 됩니다. 이 그래프는 같은 $x$값에 대해 함숫값 즉, $y$의 값이 다 음수로 바뀌었습니다. 따라서 $x$축에 대해 대칭하면 $y$대신 $-y$만 대입하면 됩니다. 같은 방법으로 $y$축에 대칭이라면 $x$대신 $-x$, 점대칭이라면 둘 다 바뀌므로 $x$대신 $-x$, $y$대신 $-y$를 대입해 모두 바꿔주시면 됩니다. 나아가 특정한 점과 선에 대한 대칭은 주기함수를 다룬 후에 자세히 보도록 하겠습니다.

3. 주기함수

주기는 그래프의 같은 모양이 일정하게 반복되어 나오는 것을 의미합니다. 예를 들어 다음과 같은 모양의 함수나 삼각함수들이 좋은 예이죠. 주기함수는 $x$의 값이 일정하게 증가할 때마다 반복되므로 $f(x+p)=f(x)$를 만족합니다. 이때 이 식을 만족시키는 최소의 양수 $p$를 주기라고 부르죠. 예를 들어 다음과 같이 뾰족한 산 모양이 반복적으로 연결된 함수가 있다고 하겠습니다. 여기서 $f(0)$의 함숫값과 $f(0+1)$, $f(0+2)$의 함숫값은 같습니다. 그리고 $f({1\over2})$과 $f({1\over2}+1)$, $f({1\over2}+2)$의 함숫값도 같고 그 사이 나아가 그 옆에 있는 함숫값들도 같죠. 따라서 $f(x)=f(x+1)=f(x+2)$라는 식이 성립합니다. 이때 이 식을 만족하는 가장 작은 $p$는 $1$이므로 이 함수는 주기가 $1$인 주기함수라고 부릅니다. 여기서 알 수 있는 것이 하나 더 있는데 $f(x)=f(x+2)$라는 식이 만족한다고 해서 반드시 $2$마다 반복될 필요는 없다는 것입니다. 주기는 그것보다 더 작을 수도 있죠. (이 정의에 따르면 상수함수는 주기함수라고 부르기 애매합니다. 하지만 문제를 풀 때 특수화가 가능한 경우라면 상수함수로 두고 풀어도 문제는 없습니다.)

4. 대칭과 주기의 응용

이 내용은 모의고사를 어느정도 푸셨다면 익숙한 내용이지만 이상하게 문제로 나오면 해석하는데 시간을 잡아먹는 경우가 많습니다. 이를 손쉽게 해결할 수 있는 방법을 두가지 문제를 통해 알려드리겠습니다.

a. 대칭, 주기 판별법

다음 $f$와 $g$중 어떤 것이 주기함수 인가요? [ $f(1+x)=f(1-x)$와 $g(x+1)=g(x-1)$ ] 보자마자 $f$는 $x=1$에 대칭, $g$는 주기함수 이렇게 떠오르면 제일 좋습니다. 정석적으로 풀면 $f$는 $x$가 증가함에 따라 $x=1$이라는 중심으로부터 멀어지면서 함숫값이 같으므로 $x=1$에 대칭인 함수, $g$는 $x$에 $t+1$을 대입하면 $g(t)=g(t+2)$꼴을 만족하므로 주기가 $2$인 주기함수라고 보는거죠. 개념에 충실히 문제를 해결해도 좋지만 [ $f(x+1)=f(-x+1)$, $g(-1-x)=g(1-x)$ ] 만약 출제자가 식을 의도적으로 꼬아내면 처음 보는 식인 것 같아 순간 멍 때리게 될 수도 있습니다. 이렇게 헷갈리실 때는 함수 안에 있는 두 값을 빼시는 것을 추천 드립니다. 두 값을 뺐을 때 문자가 남으면 그 문자에 대한 대칭함수, 숫자가 나오면 그 숫자를 주기로 갖는 주기 함수입니다. 대칭함수일 때 어느 점에 대해 대칭인지는 문자에 $0$을 넣으면 답이 보입니다.

b. 점대칭함수

이 함수는 대칭인 것 같으신가요? [ $f(1+x)+f(1-x)=2$ ] $x$축 대칭인 함수식을 변형해보겠습니다. 우변에 있는 식을 좌변으로 이동하면 $f(1+x)-f(1-x)=0$이 됩니다. 그런데 처음 보았던 이 식은 두 식이 덧셈으로 연결되었으므로 $x$축 대칭은 아닌 것 같습니다. 잘 모르겠으니 정석적으로 접근해보겠습니다. $x$에 $0$을 대입하면 $2f(1)=2$이므로 $(1,1)$을 지납니다. 그리고 $x$에 $1$을 대입하면 $f(0)+f(2)=2$가 나옵니다. $f(0)$이 얼마인지는 모르겠지만 $1$보다 $a$만큼 큰 수라면 $f(2)$는 $1$보다 정확히 $a$만큼 작아야 합니다. 따라서 $f(x)$를 $x<1$일 때 마음대로 그린다면 $x>1$일 때는 $x<1$에서 그린 양의 반대만큼 그려지므로 다음과 같이 그려집니다. $(1,1)$에 점대칭인 모양이죠. [ $f(a-x)+f(a+x)=2b$ , $(a,b)$에 점대칭인 함수 ] 이 식인 점대칭 함수를 나타내는 식입니다. 너무 유명한 식이라 변형된 식들도 많지만 기본적인 틀에서 이 식 자체를 외워두시는 것도 추천드립니다.

5. 그래프의 확대, 축소

$y=x$와 $y=2x$그래프를 비교해보겠습니다. 두 함수는 간단하게 기울기가 다른 함수라고 생각할 수도 있지만 $x$축 관점으로 두 그래프를 비교해보면 새로운 점을 찾을 수 있습니다. $y=x$그래프에서는 $x=2$일 때 나오는 함숫값이, $y=2x$그래프에서는 $x=1$일 때 나오며, $x=4$일 때 나오는 값이 $y=2x$그래프에서는 $x=2$만에 나오게 됩니다. $x$가 증가함에 있어 $2$배만큼 더 빠르게 함숫값을 출력해냅니다. 다른 예시로 원과 타원을 보도록 하겠습니다. [ $x^2+y^2=1$은 원, ${x^2\over2^2}+y^2=1$은 타원] 타원은 원과 비교해보면 $y$축은 변화가 없지만 $x$축은 $2$배만큼 늘어난 모습을 보실 수 있습니다. 방정식을 비교해보면 $y$는 변함이 없지만 $x$는 조금 다릅니다. 이러한 성질을 정리하면 $x$대신 $x\over a$를 대입하면 $x$축 방향으로 $a$배 만큼 확대된다는 것을 알 수 있죠. 반대로 $x$대신 $ax$를 대입하면 $x$를 $1\over a$로 나눈꼴이므로 $x$축 방향으로 $a$배 만큼 축소했다고 볼 수 있습니다. 예시로 $y=2\sin2x$ 그래프를 보도록 하겠습니다. 이 식은 양변을 $2$로 나누면 다음과 같이 바꿀 수 있습니다. [ ${y \over 2}=\sin2x$ ] $y=\sin x$에서 $y$대신 $y\over 2$를 대입하고, $x$대신 $2x$를 대입한거죠. 따라서 $y=\sin x$의 그래프는 $y$축 방향으로 $2$배 확대, $x$축 방향으로 $2$배 축소한 그래프를 그리시면 됩니다. 평행이동, 대칭이동처럼 변수에 적절한 연산을 통해 그래프를 찾아낼 수 있는거죠. 이를 응용하면 $f(ax)$의 주기는 $p \over a$임을 자명하게 얻어낼 수 있습니다. 나아가 길이의 변화인데 연장, 단축이 아닌 확대, 축소라는 단어를 쓰는 이유는 이 개념이 사실 넓이에 적용할 수 있기 때문입니다. $x$축 또는 $y$축으로 확장한 만큼 넓이가 늘어나고, 축소한 만큼 넓이도 줄어들죠. 이를 통해 타원의 넓이나 삼각함수의 적분값을 빠르게 계산하는데 응용될 수 있습니다.

여기까지 그래프 3편을 마치며 다음시간에는 절댓값함수와 가우스함수에 대해 알아보도록 하겠습니다. 오늘 수업은 여기까지

 

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고3을 위한 그래프 특강 - 1 | 그래프를 그리기 전에

고3을 위한 그래프 특강 - 2 | 그래프의 사칙연산

고3을 위한 그래프 특강 - 3 | 평행이동, 대칭이동, 주기함수, 그래프의 확대, 축소

고3을 위한 그래프 특강 - 4 | 절댓값, 가우스 함수 그래프

고3을 위한 그래프 특강 - 5 | 합성함수의 그래프

고3을 위한 그래프 특강 - 외전 1 | 빼기 뒤는 기준이다

고3을 위한 그래프 특강 - 외전 2 | 그래프의 오목, 볼록