빼기 뒤는 기준이다. | 뺄셈, 응용, 절댓값, 그래프, 개념, 미분, 벡터, 평행이동

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빼기는 어떤 것을 찾기 위해 하는 연산일까요? 각자 생각하시는 답이 다르겠지만 제가 생각하기에 빼기는 기준으로부터의 차이를 보는 것이기에 빼기 뒤는 기준이라 봅니다. 제 주장을 뒷받침하기 위해 여러가지 예시를 보여드리겠습니다. 

 

 

1. 절댓값의 정의

중학교 1학년에 처음 들어가면 절댓값에 대해 배웁니다. 하지만 절댓값의 정의까지 정확히 기억하고 계신분들은 많이 없습니다. |2|와 |-3|은 각각 2와 3입니다. 왜 그렇냐고 물어보면 대부분 부호를 뗀 값이라고 대답하실 것입니다. 하지만 절댓값의 정확한 의미는 그게아닙니다. 절댓값의 정의는 원점으로부터의 거리라고 되어있습니다. 그리고 이 식에는 그모든 뜻이 적혀있습니다. 이렇게 생략되어서 말이죠. 원점을 0이므로 0으로 부터의 라는말이 생략되어 있고, 절댓값은 거리를 의미하죠. 그래서 이 식의 참 뜻은 0 으로 부터의 거리라고 해석해야 합니다. 따라서 2는 원점인 0으로 부터 2만큼 떨어져 있으므로 2, -3은 0으로부터 3만큼 떨어져 있으니까 3이라고 답하는 거죠. 여기보시면 오늘의 주제  '빼기'가있습니다. 그리고 아까의 해석을 다시보면 ~ 으로부터의 뜻을 갖는다는 것을 알 수 있죠. 쉽게 생각해서 빼기 뒤는 기준입니다. 

 

 

2. 뺄셈

뺄셈은 기본적으로 차이를 관찰하는 것입니다. 5-3을 보면 3으로부터 5라는 수가 얼마만큼의 차이가 있는지 보는거죠. 즉, 빼기 뒤에 있는 수를 기준으로 앞의 수를 보는 것입니다. 이렇게 보면 -5-3이라는 계산도 3을 기준으로 -5는 왼쪽으로 8칸 떨어져 있으므로 -8이라고답을 낼 수 있습니다. 물론 아무도 이렇게 계산하지 않겠지만요. 그렇다면 이런 개념들은어디서 더 볼 수 있을까요? 

 

 

3. 평행이동

왜 이렇게 되는지 함수를 예시로 들어 설명해보겠습니다. 교과서에서는 각 점을 x축으로p, y축을 q만큼 평행이동하면 각 점들이 평행이동할 때 평행이동된 점은 x'=x+p, y'=y+p이라 둡니다. 이제 x'과 y'의 관계를 알아야 하는데 저희가 알고있는 정보는 x와 y에 대한 관계에 대한 것 밖에 없습니다. 그렇기에 x, y의 관계를 이용하여 x'과 y'를 정리하기 위해 x'-p=x, y'-q=y라 한 후, 처음 식이었던 y=1/x에 대입하면 x'과 y'의 관계는 y'-q=1/x-p'이라 할 수있습니다. x', y'는 평행이동이 된 점들이었으므로 평행이동 한 그래프의 관계식은 기존의그래프에서 평행이동 한 값만큼 뺀 것처럼 나타나는 거죠.

 

그런데 빼기 뒤는 기준을 이용해보면 어떻게 될까요? 기존의 그래프 y=1/x에서 x와 y에 각각 -0이 생략되어 있다고 생각하면 y=1/x의 그래프의 기준점은 빼기 뒤가 기준으므로(0,0) 원점이라고 생각할 수 있습니다. 즉 y=1/x그래프는 (0,0)을 기준으로 그래프를 그렸다고 보는 것이죠. 이제 0을 1로 바꾸면 어떻게 될까요? (1,1)을 원점으로 생각하고 1/x 그래프를 새로 그려보면 아까 구했던 평행이동한 그래프를 확인할 수 있습니다. 평행이동식은 사실 원점을 어디에 두냐를 의미하는 것이었죠. 이는 원의 방정식에서도 찾을 수 있습니다. 기존의 원점을 중심으로 갖는 원의 식은 -0이 생략되어 있지만 만약 0을 다른 수로바꾼다면 x-p, y-q을 대입해 (p,q)를 중심으로 갖는 원이라고 생각하는 것으로 응용할 수 있습니다.

 

 

4. 함수의 그래프

기본적으로 그래프를 그릴 때 기준은 x축입니다. 그런데 기준이 x축이 아니라면 어떨까요? 여기 두 그래프를 빼면 그래프가 다음과 같이 그려집니다. 빼기 뒤는 기준이므로 뒤에있는 그래프를 기준으로 앞에 있는 그래프를 보도록 하겠습니다. 이렇게 뒤에 있는 그래프를 기준이라 생각하고 앞에 있는 그래프가 뒤에 있는 그래프 보다 위에 있을 때는 양수에아래에 있을 때는 음수에 그래프를 그리면 교점이 x축 위에 있는 두 그래프의 차를 그래프로 그릴 수 있습니다. 만약 뒤에 있는 그래프가 직선이라면 고개를 돌려 뒤의 그래프가 x축이라 생각하고 앞에 있는 그래프를 바라본 것과 비슷하게 그래프가 그려지는 것을 확인할수 있습니다.

 

5. 기울기 (미분), 벡터

미분 가능한 함수 f에 대하여, x=a에서의 미분계수는 다음과 같이 정의합니다. (a,f(a))과 함수 위의 임의의 점을 잇는 기울기를 극한을 취하는 식이죠. 이때 x를 a로 수렴시키면함수 f의 x=a에서의 미분계수가 나오게 됩니다. 미분계수를 만드는 기울기 식은 (a,f(a))에서 바라본 기울기의 극한을 의미합니다. 여기서 잠깐 체육시간에 체조를 할 때를 떠올려보겠습니다. 체조를 하기 전에 체육선생님은 항상 기준을 세우고 좌우로 정렬을 시킵니다. 만약 그때 기준이 움직인다면 정렬 전체가 흔들리게 되죠. 따라서 기준은 항상 움직이지 않고 고정되어야 합니다. 다음과 같이 움직이는 두 점의 평균변화율의 극한은 미분이가능할 때는 미분계수와 일치하지만 미분의 정의라고 하지는 않습니다. 왜냐하면 미분이불가능할 때도 이 극한값은 존재할 수 있기 때문이죠. 미분계수를 정의할 때 여러분들이간과하는 부분이 (a,f(a))이 고정되어 있다는 점입니다. 고정된 한 점을 기준으로 바라보는 기울기의 극한 그게 미분인거죠. 좌표로부터 기울기를 찾는 것과 같은 방법으로 A점에서 B지점으로 가는 벡터를 생각해보겠습니다. 시점을 A, 종점을 B로 갖는 벡터는 다음과같이 표시하며 구할 때는 B의 좌표에서 A의 좌표를 뺌으로 구할 수 있습니다. A지점이 시작하는 점, 즉 기준이므로 자명하게 B에서 A를 빼는 방식으로 구하게 되는거죠.

 

여기까지 수학에서 자주 응용되는 빼기 개념에 대해 알아보았습니다. 이 외에도 찾아보면더욱 다양한 예시들이 많을 것입니다. 어떻게보면 그냥 무작정 외웠던 내용일 수도 있고,너무나 당연하게 생각했던 내용이라 이렇게 따로 정리하는게 의미없을 수도 있습니다. 다만 같은 개념이 반복돼서 사용될 때 그 의미를 한 번 음미해보는 것도 나쁘지는 않은 것 같습니다. 오늘 수업은 여기까지

 

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