벡터 공간 $V$ 가 있을 때, 그 위에서 정의된 모든 선형 함수(즉, 선형 사상 $V \to \mathbb{F}$, 여기서 $\mathbb{F}$ 는 체)를 모아놓은 공간을 쌍대 공간(dual space) 이라고 합니다. 이를 $V^*$ 로 나타냅니다.즉,$$V^* = { f : V \to \mathbb{F} \mid f \text{는 선형 변환} }$$입니다.왜 배우는가?쌍대 공간은 벡터 공간을 더 깊이 이해하고, 다양한 수학 및 응용 분야에서 필수적인 개념이기 때문입니다.벡터 공간의 구조를 더 잘 이해할 수 있음벡터 공간을 함수적 관점에서 바라보는 것은 기하학적, 대수적 연구에서 중요한 통찰을 제공합니다.예를 들어, 내적 공간에서는 벡터를 하나의 점이 아니라 "다른 벡터를 평가하는 함수"로도 생각할..

직선 $y = mx$에 대한 대칭 변환과 사영 변환을 찾고자 합니다. 일반적인 표준기저에서 해당 식을 찾는 과정은 복잡하므로, 새로운 기저를 이용해 다시 표준변환하는 과정을 설명해보겠습니다.개념정리$T$를 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 선형 연산자라고 하고, $\beta$와 $\beta'$를 $V$의 순서 있는 기저라고 하자. $Q$를 $\beta'$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 기저 변환 행렬이라고 가정하면, 다음이 성립한다.$$[T]_{\beta'} = Q^{-1} [T]_{\beta} Q$$$T$의 표준기저 표현을 찾는 것은 어려우므로, 새로운 기저 $\beta'$를 선택하여 $T$를 표현하고자 합니다.새로운 기저의 구성대칭 변환을 쉽게 표현하기 위해, 직선 $y = mx$에 평행한 벡..

유한 차원에서 $T = L_A$유한 차원 벡터 공간 $V$와 $W$에서, $T: V \to W$가 선형 변환이라고 가정합니다. 이 경우:표준 기저 선택:$V$의 표준 기저를 ${v_1, v_2, \dots, v_n}$,$W$의 표준 기저를 ${w_1, w_2, \dots, w_m}$로 설정합니다.행렬 $A$의 정의:$T(v_j)$를 $W$의 기저를 이용하여 표현하면:$$T(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i,$$여기서 계수 $a_{ij}$는 $m \times n$ 행렬 $A = [a_{ij}]$의 성분이 됩니다.행렬 표현:$$T(x) = A x,$$여기서 $x \in V$를 기저에 대한 좌표 벡터로 표현하면, $T$는 행렬 $A$에 의해 완전히 나타낼 수 있습니다. 이는 $T = L_..

Online Linear Algebra Applications Online Linear Algebra ApplicationsThe Leslie Matrix and Population Change The population of a colony of animals depends on the birth and mortality rates for the various age groups of the colony. For example, suppose that the members of a colony of mammals have a life span of less than 3 yemedia.pearsoncmg.comLeslie 행렬과 인구 변화동물 집단의 개체 수는 집단 내 각 연령대의 출생률과 사망률에 따라..

미국의 금리에 대한 2024년은 흥미로운 해였습니다. 이 해에는 중앙은행이 시장 금리의 궤적을 변경할 수 있는 한계에 대한 더 많은 증거가 나타났습니다. 우리는 연준의 금리 인하 기대에 의해 금리가 하락할 것이라는 합의된 지혜로 2024년을 시작했습니다. 연준은 2024년 동안 세 번의 금리 인하를 단행하며 약속을 지켰지만, 채권 시장은 예상과 달리 시장 금리는 오히려 상승했습니다. 이 글에서는 2024년 동안 만기별로 국채 금리의 변동과 그로 인한 수익률 곡선의 변화를 살펴보겠습니다. 이어서 2024년 동안 채권 시장에서 위험 가격이 어떻게 변화했는지를 측정하기 위해 신용 등급 스펙트럼 전반에 걸친 기업 채권 금리의 변화를 살펴보겠습니다.2024년 국채 금리2024년을 맞이할 때, 금리는 2022년에 ..

2025년을 위한 첫 두 데이터 게시물에서, 저는 2024년 미국 주식이 강력한 해를 보였다는 점을 살펴보았습니다. 그러나 전체 시장이 매우 좋은 해를 보였다고 해서 모든 시장 세그먼트에서 동등한 수익으로 이어지는 것은 아닙니다. 이번 게시물에서는 미국 주식에 집중하되, 이를 그룹으로 나누어 차이를 찾아보겠습니다. 먼저, 미국 주식을 섹터별로 분류하여 다양한 산업 그룹 간의 수익 변화를 살펴보겠습니다. 이어서, 시장 자본화에 따라 기업을 분류하여, 자주 언급되는 소형주 프리미엄이 다시 부각되었는지 살펴보겠습니다. 이 과정에서, 시장이 얼마나 큰 기업들 덕분에 수익을 올렸는지도 살펴보며, '매그 세븐'에 주목하겠습니다. 다음 섹션에서는 가격 대비 장부가 비율의 10분위수에 따라 기업의 주식 수익률을 살펴보..