행렬곱의 응용, Leslie 행렬과 인구 변화

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Leslie 행렬과 인구 변화

동물 집단의 개체 수는 집단 내 각 연령대의 출생률과 사망률에 따라 달라집니다. 예를 들어, 어떤 포유동물 집단의 구성원이 3년 미만의 수명을 가진다고 가정해 봅시다. 집단의 출생률을 연구하기 위해 암컷을 세 연령대로 나눕니다: 1세 미만, 1세에서 2세 사이, 2세. 집단의 사망률 데이터를 통해 신생 암컷의 40%가 1세까지 생존하며, 1세 암컷의 50%가 2세까지 생존한다는 것을 알 수 있습니다. 집단에서 암컷과 수컷 개체 수 사이에는 알려진 관계가 존재하므로, 각 연령대의 암컷이 암컷 자손을 낳는 비율만 관찰하면 됩니다. 1세 미만의 암컷은 자손을 낳지 않으며, 1세에서 2세 사이 암컷은 평균 2명의 암컷 자손을 낳고, 2세 암컷은 평균 1명의 암컷 자손을 낳는다고 가정합니다. 현재 1세 미만, 1세에서 2세, 2세 암컷의 수를 각각 $x_1$, $x_2$, $x_3$라 하고, 다음 해의 해당 연령대 암컷의 수를 $y_1$, $y_2$, $y_3$라 하겠습니다. 올해에서 내년으로의 변화는 아래 표와 같이 나타낼 수 있습니다.

연령(년)	현재 연도	다음 연도
0–1	$x_1$	$y_1$
1–2	$x_2$	$y_2$
2–3	$x_3$	$y_3$

벡터 $x = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}$는 암컷 집단의 현재 인구 분포를 나타냅니다. 위 정보를 이용하여 다음 해의 인구 분포를 예측할 수 있으며, 이는 벡터 $y = \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 \end{pmatrix}$로 나타낼 수 있습니다. 다음 해의 인구에서 1세 미만 암컷의 수 $y_1$는 올해 각 연령대의 암컷이 낳은 자손의 수에 의해 결정됩니다. 현재 1세에서 2세 사이의 암컷은 $x_2$명이 있으며, 각각 평균 2명의 암컷 자손을 낳습니다. 또한 2세 암컷은 $x_3$명이 있고, 각각 평균 1명의 암컷 자손을 낳습니다. 따라서 $y_1$에 대한 식은 다음과 같습니다:
$$
y_1 = 2x_2 + x_3.
$$

1세에서 2세 사이의 암컷 수 $y_2$는 다음 해 1세 그룹에 속하는 암컷의 수입니다. 올해 1세 미만 그룹에 속했던 암컷의 40%만이 생존하여 1세에서 2세 그룹으로 진입하므로 $y_2 = 0.4x_1$이 됩니다. 마찬가지로, $y_3 = 0.5x_2$입니다. 이 세 식을 모아보면:
$$
y_1 = 2.0x_2 + 1.0x_3, \quad y_2 = 0.4x_1, \quad y_3 = 0.5x_2.
$$

이 세 식은 행렬 방정식 $y = Ax$로 표현할 수 있으며, 여기서 $x$와 $y$는 각각 위에서 정의된 인구 분포를 나타내는 벡터이고, $A$는 $3 \times 3$ 행렬입니다:
$$
A = \begin{pmatrix} 0.0 & 2.0 & 1.0 \\ 0.4 & 0.0 & 0.0 \\ 0.0 & 0.5 & 0.0 \end{pmatrix}.
$$

예를 들어, $x = \begin{pmatrix} 1000 \\ 1000 \\ 1000 \end{pmatrix}$라 하면, 즉 각 연령대에 암컷이 1000명씩 존재한다고 가정하면:
$$
y = Ax = \begin{pmatrix} 0.0 & 2.0 & 1.0 \\ 0.4 & 0.0 & 0.0 \\ 0.0 & 0.5 & 0.0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1000 \\ 1000 \\ 1000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3000 \\ 400 \\ 500 \end{pmatrix}
$$

따라서 1년 후에는 1세 미만 암컷이 3000명, 1세에서 2세 암컷이 400명, 2세 암컷이 500명이 됩니다.

$k$년 후의 인구 분포

모든 양의 정수 $k$에 대해, $p_k$를 초기 인구 분포 $p_0$로부터 $k$년 후의 인구 분포라 하겠습니다. 위 예에서:
$$
p_0 = x = \begin{pmatrix} 1000 \\ 1000 \\ 1000 \end{pmatrix}, \quad p_1 = y = \begin{pmatrix} 3000 \\ 400 \\ 500 \end{pmatrix}
$$
모든 양의 정수 $k$에 대해, 다음이 성립합니다:
$$
p_k = A p_{k-1}
$$
따라서:
$$
p_k = A p_{k-1} = A^2 p_{k-2} = \cdots = A^k p_0
$$

이 방식을 통해 장기적인 인구 추세를 예측할 수 있습니다. 예를 들어, 10년 후의 인구 분포를 예측하려면 $p_{10} = A^{10} p_0$를 계산합니다. 계산 결과는 다음과 같습니다:
$$
p_{10} = A^{10} p_0 = \begin{pmatrix} 1987 \\ 851 \\ 387 \end{pmatrix}
$$
여기서 각 항목은 가장 가까운 정수로 반올림되었습니다. 이 과정을 10년 단위로 반복하면, (반올림된 결과로) 다음과 같은 분포를 얻습니다:
$$
p_{20} = \begin{pmatrix} 2043 \\ 819 \\ 408 \end{pmatrix}, \quad p_{30} = p_{40} = \begin{pmatrix} 2045 \\ 818 \\ 409 \end{pmatrix}
$$

이를 통해 인구가 30년 후 안정화된다는 것을 알 수 있습니다. 실제로, 벡터:
$$
z = \begin{pmatrix} 2045 \\ 818 \\ 409 \end{pmatrix},
$$
에 대해 $Az = z$가 성립합니다. 이러한 상황에서 인구 분포 $z$는 안정적이며, 해마다 변화하지 않습니다.

일반화

일반적으로, 동물 집단의 인구 분포가 안정적인 상태로 접근하는지 여부는 각 연령대의 생존율과 출생률의 특성에 따라 달라집니다.

이 상황을 임의의 동물 집단으로 일반화할 수 있습니다. 집단의 암컷을 $n$개의 연령대로 나누고, $x_i$를 $i$-번째 연령대의 개체 수라고 하겠습니다. 개별 연령대의 시간 지속 기간은 반드시 1년일 필요는 없지만, 모든 연령대의 지속 시간은 동일해야 합니다. $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$를 암컷 집단의 인구 분포라 하고, $p_i$를 $i$-번째 연령대의 암컷이 다음 연령대로 생존할 비율이라 하며, $b_i$를 $i$-번째 연령대의 개체가 낳는 평균 암컷 자손 수라고 하겠습니다. 만약 $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$가 다음 기간 동안의 인구 분포라면, 다음이 성립합니다:
$$
y_1 = b_1 x_1 + b_2 x_2 + \cdots + b_n x_n,
$$
$$
y_2 = p_1 x_1,
$$
$$
y_3 = p_2 x_2,
$$
$$
\vdots
$$
$$
y_n = p_{n-1} x_{n-1}.
$$

따라서:
$$
A = \begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\
p_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & p_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & p_{n-1}
\end{pmatrix},
$$
에 대해:
$$
y = A x.
$$

행렬 $A$는 집단의 Leslie 행렬이라 불립니다. 이 이름은 1940년대에 이 행렬을 도입한 P. H. Leslie의 이름에서 유래되었습니다. 초기 인구 분포를 $x_0$라 하면, $k$개의 시간 간격 이후의 인구 분포는:
$$
x_k = A^k x_0.
$$

와 같습니다.