2022. 4. 3. 00:57ㆍRay 수학
수학이 어려운 이유는 여러가지가 있지만 보통 함수의 그래프에서 많이 좌절하곤 합니다. 그래서 앞으로 몇개의 영상을 통해 그래프의 개형을 그리는 방법에 대해 소개해보고자 합니다. 그래프의 개형 그릴때 교과서에서는 증감표로 설명합니다. 하지만 제 생각에 이는 너무나 느립니다. 시간이 정해진 문제풀이에서는 사용하기 부담스럽죠. 그래서 교과서와는 조금 다르게 실전적인 방법으로 그래프의 개형을 찾는 방법에 대해 정리해보았습니다.
미리 말씀드리자면 앞으로의 과정들이 마냥 쉽지는 않을 것입니다. 그리고 이 내용이 처음이라면 모든 내용을자신의 것으로 만드는데는 적어도 한 주간은 그래프 그리는 연습만 하셔야 합니다. 하지만 이 과정이 익숙해지신다면 여러분들이 문제를 빠르고 정확하게 푸는데 도움이 될 것이라 장담하겠습니다. 그렇다면 시작해보겠습니다.
우선 그래프의 개형이 무엇인지 아실필요가 있습니다. 개형이란 자세히 보지 아니하고 대체로 본 형상이나 모양이란 뜻을 갖고 있습니다. 여러분들이 그래프를 그리실 때 하는 가장 큰 실수는 그래프를 완벽하게 그리려고하다보니 오히려 중요한 성질을 놓친다는데 있습니다. 그래프를 완벽하게 그리는 것은 중요하지 않습니다. 그래프를 그리는 이유는 중요한 포인트를 우리 눈에 보이게 하는데 초점을 맞추어야합니다.
- 그래프 그리는 순서
제가 지금부터 x^2+x-2의 그래프를 그려보겠습니다. 혹시 두 방법에 차이를 아시겠나요? 다시 한 번 보여드리겠습니다. 여러분들은 저 두 방법 중 어떻게 그리시나요? 사람들마다 다르겠지만 저는 두번째 방법을 추천드리겠습니다. 왜냐하면 함수의 개형을 그릴 때 실근을 먼저 찍고 그래프를 그리거나 y축을 먼저 그리게 되면 그래프를 그 점에 맞추어 그리려다보니 모양이 예쁘게 나오지 않을 수 있습니다. 그러므로 x축을 먼저 그리고 개형을 대충 그린 후 점을 찍는 방식을 추천드리겠습니다.
- 최고차항의 계수와 차수가 개형을 결정한다
함수의 개형은 보통 최고차항의 계수와 차수가 결정합니다. f의 최고차항의 계수가 양수라면 x가 커짐에 따라양의 무한대로 발산하므로 그래프의 오른쪽이 우상향하고 반대로 f의 최고차항의 계수가 음수라면 x가 커짐에따라 음의 무한대로 발산하므로 그래프의 오른쪽이 우하향하는 모습이 됩니다. 그리고 몇몇 간단한 그래프를관찰해보면 보통 차수보다 적은 수의 봉우리가 생긴다는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 그래프를 그릴 떄 최고차항의 계수와 차수를 우선적으로 고려하시기 바랍니다.
- 도함수의 부호를 관찰하자.
f'이 0보다 크면 f는 증가하고, f'이 0보다 작으면 f는 감소합니다. 그리고 f'=0이라면 f는 평평하다. 즉, 봉우리가생길 가능성이 높습니다. 나아가 f''이 0보다 작으면 f는 위로 볼록, f''이 0보다 크면 f는 아래로 볼록입니다. 이를응용하는 방법은 뒤에 자세하기 다뤄보도록 하겠습니다.
실제 예시를 통해 그래프를 그려보도록 하겠습니다.
1. 인수분해를 통해 그래프 그리기
여기 함수 하나가 있습니다.(f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1). 이 함수가 만약 정수근을 갖는다면 최고차항의 계수분의최저차항의 계수 약수이므로 +1또는 -1이 근입니다. 우선 1로 조립제법을 하고난 후 남은 이차함수를 근의 공식을 통해 인수분해하면 다음과 같습니다. 여기서 잠깐 이 그래프들을 보겠습니다. 일차함수부터 오차함수까지 나타낸 그래프인데요. 보시면 1차, 3차, 5차 처럼 홀수 차수인 그래프는 x축 즉, 근을 뚫고 지나가고 2차, 4차처럼 짝수 차수인 그래프는 x축을 뚫지않고 접촉만 한 후 지나가는 모양을 가집니다. 갑자기 이 이야기를 왜 하나 하시겠지만 신기하게도 임의의 함수의 그래프는 해 근처에서 국소적으로 같은 모양을 갖게 됩니다. 천천히설명해보겠습니다. 우선 x축을 그립니다. 그리고 f의 최고차항의 계수는 양수이므로 오른쪽 위가 올라가는 형태일 것이고 차수는 4차이므로 봉우리가 3개 이하로 생길 것입니다. f(x)는 x=1에서 이차이고 1-sqrt2, 1+sqrt2에서 일차입니다. 1-sqrt2, 1, 1+sqrt2 순서대로 근이 생길때 1에서는 이차이므로 x축에 접하게 1-sqrt2, 1+sqrt2에서는 x축을 뚫고 지나가게 그래프를 그린다면 그래프를 다음과 같이 그려야만 한다는 것을 알 수 있습니다.
2. 미분을 통해 그래프 그리기
인수분해를 저렇게까지 디테일하게 하시는 분들은 없을것입니다. 우리에게는 미분이라는 강력한 도구가 있으므로 미분을 이용해 그래프를 그리도록 하겠습니다. f를 미분하면 4x^3-12x^2+8x입니다. 그리고 난 후 인수분해하면 4x(x-1)(x-2)입니다. 미분을 하면 보통 원함수보다는 조금 더 쉽게 인수분해가 되기에 편하게 도함수의그래프를 그릴 수 있습니다. f'은 0,1,2에서 근을 갖는 삼차함수이므로 손쉽게 그래프를 그리실 수 있습니다. 그후에 f'이 음수인 곳과 양수인 곳을 표시합니다. f'이 음수이면 f는 감소, f'이 양수이면 f는 증가하므로 이를 이용해 그래프를 그려주시면 되겠습니다. 이때 간단한 팁은 f'이 0인 점을 기준으로 점선을 그려서 봉우리가 생길 것이란 생각을 하신다면 보다 간편하게 그래프를 그리실 수 있습니다. 가장 많이 사용하는 방법이므로 꼭 많이 연습해보시길 바랍니다.
3. 평행이동을 이용하여 그래프 그리기
함수에서 상수항이 갖는 의미는 무엇일까요? 함수의 개형에서 보았을때 마지막 상수항은 y축방향으로 평행이동을 의미하므로 그래프의 개형에는 큰 영향을 미치지 않습니다. 다시말해 없다고 생각하고 그래프를 그리면어떻게 될까요? -1이 없다고 생각하고 나머지 부분만 인수분해하면 다음과 같이 0과 2에서 중근을 갖습니다. 따라서 4차함수에서 0과 2에서 x축을 접촉만 하고 지나게 그래프를 그리는 방법은 다음과 같으므로 우선 그래프의 개형을 그려준 후 마지막에 -1만큼 평행이동해주면 됩니다. 이 방법을 사용하면 상수항을 제거하면서 x의 거듭제곱으로 반드시 식이 묶이게 됩니다. 따라서 인수분해를 보다 간단하게 할 수 있다는 엄청난 장점이 있습니다. 물론 -1만큼 평행이동할 때 0과 2의 중점인 x=1에서 x축과 접하는지는 따로 조사를 해야하지만 그래프의 모양이 어떻게 생기는지 대략적으로 알기에는 가장 빠른 방법입니다.
간단하게 그래프를 그리는 방법 3가지에 대해 알아보았습니다. 이 중 어떤 한가지가 더 빠르다는 것 보다 각 방법에 장점이 있으며 서로 보완하는 점도 있기에 모두 손에 익을 수 있도록 연습해보시기 바랍니다. 모든 내용은블로그에 pdf로 정리해두었습니다. 다음시간에는 그래프와 사칙연산에 대해 알아보도록하겠습니다. 오늘 수업은 여기까지
고3을 위한 그래프 특강 - 1 | 그래프를 그리기 전에
고3을 위한 그래프 특강 - 3 | 평행이동, 대칭이동, 주기함수, 그래프의 확대, 축소
고3을 위한 그래프 특강 - 4 | 절댓값, 가우스 함수 그래프
고3을 위한 그래프 특강 - 외전 1 | 빼기 뒤는 기준이다
고3을 위한 그래프 특강 - 외전 2 | 그래프의 오목, 볼록
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