소수의 임의의 긴 수열은 존재하는가? | 그린-타오 정리

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소수 3, 5, 7은 2씩 차이나는 등차수열입니다.

이처럼 3개의 소수로 이루어진 등차수열을

길이가 3인 소수 등차수열이라 합니다.

 

그렇다면 길이가 4인 것도 존재할까요?

5부터 6씩 더한다면 가능합니다.

심지어 6을 한 번 더 더한다면 길이가 5인 것까지 가능하죠.

 

하지만 6을 한 번 더 더한다고 길이가 6인 소수 등차수열이 되지는 않습니다.

 

그렇다면 길이가 6인 소수 등차수열은 없을까요?

나아가 길이가 몇이든 소수로만 이루어진 등차수열은 반드시 존재할까요?

 

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그린과 타오의 증명에는 세 가지 주요 요소가 있다. 

1. 세메레디 정리(양의 밀도를 갖는 정수 부분집합이 임의로 긴 길이의 등차수열을 포함한다.)
2. 상대적인 세메레디 정리로 전이한다.
3. Goldston and Yıldırım의 아이디어를 활용한다.

그린-타오 정리 증명 https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v167-n2-p03.pdf