길이가 0인 점들을 더해서 길이가 있는 선을 만들 수 있는가? | 다수의 역설, 르벡 측도, 르베그 적분

이미지를 클릭하면 영상으로 이동합니다

 

정적분 문제를 하나 보도록 하겠습니다. 못푸시더라도 상관없습니다. 어차피 제가 풀어줄거니까요. 이 문제는 분자를 인수분해 하면 분모와 약분되어 새로운 피적분함수를 구한 후정적분을 이용해 값을 찾습니다. 그런데 조금 이상한 점 못느끼셨나요? 이 두 함수는 같은함수인가요? 왼쪽식의 피적분함수는 분모가 0일 때 정의되지 않는 불연속함수지만 오른쪽은 연속함수입니다. 비슷하지만 같지는 않은 함수입니다. 그런데 제 맘대로 이렇게 적분을 해도 되는걸까요? 결론부터 말하면 괜찮습니다.

(고등학교 교육과정에서는 적분구간에 불연속점이 포함된 예시를 최대한 피하려고 합니다. )

 

저번에 알아본 입실론-델타로 논법으로 리만 적분을 정의하면 (함수가 유계일 때) 한 점을제외해도 적분값에 영향을 미치지 않는다는 사실을 어렵지 않게 얻을 수 있습니다. 이게너무 어렵다면 면적에서 선 한 개정도 뺀다고 넓이가 변하지는 않을 것이라 생각해도 됩니다. 그렇다면, 두 선은 어떨까요? 한 선을 빼도 적분값에 영향을 미치지 않았으므로, 같은방법으로 한 선을 먼저 뺀 후 다시 한 번 더 빼면 똑같이 적분값에 영향을 미치지 않는다는것을 알 수 있습니다. 잘 생각하면 넓이에서 선 몇개 뺐다고 해서 넓이가 바뀌지 않을 것이므로 당연해 보입니다. 이제 조금 더 나아가 한 개, 두 개, 세 개 이런식으로 빼간다면 무한개의 점, 예를 들면 0과 1사이의 모든점에서 불연속이면 어떻게 될까요? 이 함수의 넓이는 몇일까요? 오늘은 이 문제를 해결한 아이디어에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

 

이 문제의 풀이에 앞서 고대부터 논란이었던 제논의 역설을 먼저 보겠습니다. 보통 제논의역설이라하면 아킬레스와 거북이만 생각하실텐데 저는 그게 아닌 연속체의 본성을 다룬'다수의 역설'을 소개하고자 합니다. 예를들어 길이가 1인 선분이 있다고 합시다. 이 선분을나누어 본다면 작은 선분들을 가지는 것을 알 수 있습니다. 그리고 나누는 과정은 무한히 반복할 수 있으므로 이러한 작은 선분은 무한히 많습니다. 그런데 이때 2가지 문제가 발생합니다. 나눈 결과로 나온 한 선분을 보겠습니다. 첫번째로 무한히 반복한 결과로 나온 작은 선분은 길이를 갖지 않아야 합니다. 만약 이 선분이 길이를 가진다면 이 선분은 더 나누어질 수 있기 때문이죠. 하지만 이 선분이 길이를 갖지 않는다면 두번째 문제가 발생합니다. 길이가 1인 선분은 이 작은 부분들로 이루어져있는데, 이들이 얼마나 많은지에 상관없이 애초에 길이가 0이었으므로 아무리 많이 더해도 0이란 결과만 얻을 수 밖에 없습니다. 이러한 모순을 없애기 위해서는 이 작은 선분은 길이를 가져야만 합니다. 그러나 이러한길이를 가지는 선분은 무한히 많으므로 결국 이 합은 처음의 길이인 1이 아니라 무한의 길이를 갖게 됩니다. 이를 정리하면 아까와 같은 최소의 작은 선분이 존재한다면, 길이를 갖지 않을 만큼 짧거나, 무한히 쪼갤 수 있을 만큼 길어야 합니다.

 

결과적으로 우리는 '0보다 크지만 임의의 양의 실수보다 작은 수'가 존재하는가 하는 질문을 던지게됩니다. 우리가 극한을 다룰 때 계속 뭔가 모를 찝찝함을 남기게하는 내용이죠. 위 내용을 정리하면

 

(정리)

1. 선분을 분할하는 과정을 무한히 반복하면 '최소의 선분'을 얻을 수 있는가?
2. '최소의 선분'의 길이가 0이라면 0을 무한히 많이 더해도 0이므로 선분의 길이는 양수가 될 수 없다.
3. '최소의 선분'의 크기가 양수라고 하면, 선분의 길이는 양수의 무한합이므로 무한대가 되어 모순이다. 

 

이 개념은 수학뿐만 아니라 과학시간에서도 발견됩니다. 데모크리토스의 원자설에 따르면 이론적으로 모든 물질은 더이상 쪼개어질 수 없는 원자로 이루어져있고, 이론적으로 원자의 크기는 0이지만 이 원자로 만들어지는 물질의 크기는 0이 아닌 것 처럼 말이죠.

 

그렇다면 길이가 0인 점들이 모여서 어떻게 크기가 양수인 선분을 만들 수 있을까요? 길이가 0인 점들이 모여서 크기가 서로 다른 선분을 만드는데 수학자들은 어떻게 해결했을까요? 무한히 분할한다는 아이디어를 기하적인 측면, 즉 그림에서만 본다면 계속 모순적인상황이 생깁니다.  

 

여러분들이 이 문제의 해결방법을 유도할 수 있게 한가지 질문을 하겠습니다. 선분과 같이이어져 있는 것들은 한 점을 기준으로 잘라서 두 부분으로 만들 수 있습니다. 그리고 이 과정은 한 점을 기준으로 두 구간으로 나누는 과정으로 바꿀 수 있습니다.  따라서 이 과정을되풀이 하면 구간을 무수히 자를 수 있습니다. 길이가 1인 선분을 어떻게 자르면 다르게 말해 [0,1]에 몇개의 점을 기준으로 구간을 나눠야 점을 만들 수 있을까요? 다른말로 몇개의실수를 기준으로 구간을 나눠야 한 실수로 이루어진 구간을 만들 수 있을까요?

 

여기서 우리는 실수의 조밀성에 대해 생각해볼 필요가 있습니다. 조밀성이라하니 처음 들어본 성질같지만 우리가 이미 알고있는 성질입니다. 서로 다른 두 실수 사이에는 반드시다른 실수가 존재한다는 성질입니다. 이 성질을 이용해 다시 질문을 보겠습니다. 한 점을기준으로 구간을 나눈다면 그 구간의 양 끝값 사이에는 반드시 다른 실수 점이 적어도 하나 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 이 과정을 아무리 반복해도 그 구간 안에는 실수점이 적어도 하나가 계속 존재합니다. 이 말은 어떤 실수를 기준으로 구간을 나누는 행위로는 한 점으로 이루어진 구간을 만들 수 없음을 의미합니다. 바꿔말하면 선분을 무한히자르는 과정을 통해서는 절대로 점을 만들 수 없습니다. 이제 선분을 자르는 행위로는 점을 만들 수 없다는 개념을 조금만 더 심화시켜보겠습니다. 선분을 자르는 것은 한 번, 두 번셀 수 있습니다. 따라서 이 행위를 무한히 하더라도 기껏해야 셀 수 있는 무한 countable입니다. 수학자들은 이 아이디어에 착안해 길이에 대한 새로운 아이디어를 발전시킵니다.

 

다시 앞에 말한 적분으로 돌아와보겠습니다. 우리가 흔히 사용하는 적분은 연속함수일때를 주로 다룹니다. 이에 수학자 르벡은 리만적분이 함수의 연속성에 의존하고 있어 더 많은 함수를 적분할 수 없다는데 대안을 찾기 위해 x축이 아닌 y축을 분할하는 방법으로 새로운 적분방법을 만들게 됩니다. 그리고 이러한 이론을 발전시키기 위해 먼저 집합의 길이를 정립하게 되는데 그 이론이 르벡 측도입니다. 르벡측도는 측정 가능한 어떤 집합이 교집합을 갖지 않는(공통 부분이 없는) 가산개의 부분 집합으로 분할될 때 전체 측도는 그 부분집합의 측도들의 합이 됩니다. 우리가 방금 보았던 내용과 같죠. 이 논리를 이용하면 어떤 집합을 교집합이 없는(공통부분이 없는) 비가산개의 부분집합으로 나눌 때는, 전체 집합의 측도가 부분집합들의 측도의 합이라고 말할 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 

 

직관적인 길이를 이용해 예시를 들어보겠습니다. 여기 두 선이 있습니다. 한 선은 양 끝이막혀있고, 한 선은 양 끝이 뚫려있습니다. 여러분들은 이 두 선의 길이를 각각 몇이라고 할건가요? 길이를 정의하고 재는 방법은 여러가지가 있지만 저는 간단하게 1차원에서의 길이인 절댓값 즉, 구간의 양 끝값의 차이로 길이를 정의해보겠습니다. 조금 엄밀하게 보이기위해 열린구간을 임의의 양수 입실론을 이용해 설정하면, 두 구간 모두 (0-epsilon, 1+epsilon)으로 충분히 덮을 수 있고, 반대로 (0+epsilon, 1-epsilon)을 포함하고 있습니다. 임의의 양수 입실론에 대하여 두 구간 모두 양 끝 값의 차는 1-2epsilon과 1+2epsilon사이에 있으므로 길이는 둘 다 1이라 할 수 있습니다. 여러분들이 추측한 값과 일치하나요? 입실론논법을 이용해 같은 방법으로 점의 길이가 0이란 것도 유도할 수 있고, 반대로 르벡 척도의개념을 이용해 닫힌구간 [0,1]을 세 집합의 합집합으로 바꾸면 가산개의 합집합이므로 덧셈연산으로 바꿀 수 있고, 따라서 점의 길이가 0이다라고 얻을 수 있습니다. 우리가 직관적으로 생각하는 길이개념과 잘 맞아 떨어지죠.

 

조금 어려운 문제를 보겠습니다. [0,1]까지 있는 유리수 점들의 모임의 길이는 몇일까요? [0,1]안에 있는 유리수 점은 무한히 많이 존재합니다. [0,1]은 그 안에  있는 무수히 많은 유리수와 무리수의 합집합이니까 절반인 1/2일까요? 르벡 척도의 개념을 이용하면 유리수 점들의 개수는 가산이므로 유리수 점들의 집합은 각 점들의 길이의 합으로 구할 수 있습니다. 따라서 0을 무수히 더하므로 0입니다. 그렇다면 [0,1]안에 있는 무리수점들의 모음의길이는 몇일까요? 무리수점들의 개수는 비가산이므로 무리수 점들의 집합은 각 점들의 길이의 합으로 구할 수 없습니다. 그래서 다른 방법으로 [0,1]안에 있는 점들을 유리수와 무리수로 나누면 두 집합의 합집합 다른말로 가산번의 합집합으로 나타낼 수 있으므로1=0+무리수 점의 길이로 두면 무리수 점들의 모음의 길이는 1인 것을 알 수 있습니다. 이렇게 측도 이론에 따르면 다수의 역설이 말하고 있는 0을 아무리 많이 더해도 0밖에 얻을 수가 없다는 모순이 발생하지 않습니다. 0의 크기를 가진 점들이 가산개일 경우에는 전체의길이는 0이 되지만, 비가산일 경우에 전체의 길이는 그 비가산개의 부분들의 길이의 합으로 구할 수 없으므로 셀수 없이 많은 경우 전체의 길이가 양수가 되는 것은 수학적으로 모순이 아니게 된거죠. 수학자들은 이 내용을 일반화시켜 '영집합' 이란 개념을 만들었습니다. 영집합은 공집합과는 조금은 다른 개념으로 쉽게 생각하면 길이가 0인 집합입니다. 예를들어 유리수 집합이나 칸토어 집합처럼 가산일 수도 또는 비가산일 수도 있지만 길이가0이면 영집합이라 합니다. 그리고 영집합은 길이에 영향을 미치지 않는 성질을 가지므로임의의 집합에 대해 길이에 영향을 미치지 않는 영집합을 제외한 점들을 보고 거의 모든점이라 합니다.(측도에 의해 영집합의 부분집합은 영집합이고 두 영집합의 합집합도 영집합임을 보이는 것은 어렵지 않습니다.) 이렇게 측도이론에 의해 무한히 많이 모인 연속적인 선분을 만드는 것은 수학이론 안에서 안전하게 보호되었습니다.

 

다시 처음으로 돌아와 수학은 이러한 적분문제를 해결했을까요? 리만적분은 우리가 고등학교때 배우는 급수와 정적분의 관계처럼 x축을 무한히 분할해서 직사각형을 만든 후 이직사각형의 넓이의 총합으로 정의합니다. 그런데 x축을 무한히 분할할 때 아까 보았듯이countable 기껏해야 aleph null개의 구간으로 분할되며, 따라서 aleph null개의 직사각형을 얻습니다. 이제 느낌이 오시나요? 유계함수 f에 대하여 리만 적분이 가능하기 위한 필요충분조건은 닫힌구간의 거의 모든 점에서 연속이기만 하면됩니다. 주어진 적분구간에서 길이에 영향을 미치지 않을 정도의 점에서 불연속이더라도 적분 결과에는 영향을 미치지 않는거죠. 

 

하지만 안타깝게도 이 문제는 거의 모든 점에서 연속이 아닌 모든점에서 불연속입니다. 따라서 이 함수는 리만적분이 불가능합니다. 다만 측도를 이용해 르벡적분을 하면 유리수 점에서의 함숫값은 1, 무리수 점에서의 함숫값은 0이기에 0이라는 답을 얻을 수 있습니다. 

 

수학자들은 점, 선, 면에 관계에서 사람들이 의문을 제기하는 문제에 대해 합리적인 설명을 하고자 노력하며 미적분을 발전시켜왔습니다. 비록 학교 수학에서는 이 내용을 온전하게 다루기 힘들지만 그래도 관심이 있으신 분들에게는 도움이 되시길 바라겠습니다. 이렇게 3편을 마지막으로 무한 3부작을 마치려 합니다. 이번 영상을 제작하면서 실수의 완비성, 비탈리 집합의 비가측성, 바나흐-타르스키 역설도 찍먹하고 싶었는데 이는 다음에 한 주제씩 천천히 만들겠습니다. 여러분들도 이제 칸토어 집합이 갖는 의미에 대해 조금이라도 잘 알게 되셨길 바라며 오늘 수업은 여기까지

 

---

수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue)는 리만(Reimann) 적분의 한계와 문제점을 개선하기 위해 여러 가지 시도를 하였고, 그 결과 완성된 것이 르베그 측도(Lebesgue measure)와 르베그 적분(Lebesgue integral)의 개념입다. 르베그는 측도개념을 활용하여 보다 다양한 함수를 적분하고 함수의 수렴 관계 등을 리만 적분의 경우보다 훨씬 명확하게 정의할 수 있었습니다. 

 

르베그 적분은 리만 적분에서 성립하는 성질(선형성, 단조성) 등을 모두 만족시키고, 어떤 함수가 리만 적분 가능하면 르베그 적분도 가능하며 값도 동일합니다. 더하여 르베그 지배수렴정리(Lebesgue's dominated convergence theorem, 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리)에 따르면 어느 정도의 유한성만 보장되면 극한으로 정의될 수 있는 함수들을 적분할 수 있습니다. 이를 응용하면 L^p공간을 결정하고 함수공간에서의 완비성도 논할 수 있습니다.

 

여름에 시작했던 시리즈를 미루고 미루다 겨울에 완성하게 되었습니다. 기다려주신 분들께 감사드립니다.

 

교과서에서는 실수의 완비성부터 출발하여 하나 하나씩 엄밀하게 정의해가며 측도 이론까지 도달하는 맛이 있습니다. 다만 유튜브 영상으로 제작하면서 많은 내용을 담으려다보니 측도이론의 발전과 결과에 대해 전체적인 맥락만 소개해 정의, 정리, 증명이 많이 생략되었습니다. 나중에 기회가 된다면 실수의 완비성과 데데킨트 컷, 나아가  비탈리 집합의 비가측성, 바나흐-타르스키 역설도 다뤄보도록 하겠습니다.

 

영상을 제작하면서 논란의 소지가 있을 것 같은 내용이나 여러분들의 의견이 듣고 싶었던 내용이 있어 정리해보았습니다. 영상 중 수정해야하거나 잘못된 것이 있다면 알려주시기 바랍니다. 이 댓글과 더보기란을 이용해 수정하도록 하겠습니다.

 

1. 교육과정에서 적분 구간에 불연속인 점이 포함되어 있는 함수는 되도록 다루지 않으려합니다. 일반적으로 약분을 하는 문제를 보시면 부정적분 문제일 것입니다.

 

2. 디리클레 함수의 불연속성은 증명하지 않았지만 직관적으로 이해하실 것이라 생각됩니다. 개인적으로 같은 점으로 수렴하는 유리수열과 무리수열의 함숫값의 극한으로 불연속성을 증명하는데 이는 추후 영상으로 제작해보고자합니다.

 

3. 일반적으로 교과서에서는 유리수의 조밀성(서로 다른 두 유리수 사이에 다른 유리수가 있음)이 증명되어 있습니다. 실수의 조밀성은 유리수의 조밀성으로부터 어렵지 않게 유도할 수 있습니다. 다만 유리수의 조밀성을 설명하기 위해 실수의 완비성, 아르키메데스 원리 등을 설명해야합니다. 완비성 같은 경우에 저는 재미있는데  쉽고 이해할 수 있게 잘 설명할 자신이 없어서 일단 영상에서는 제외했습니다. 다음에 준비해보도록 하겠습니다. 

 

4. 이번 영상에서 가장 마음에 걸리는게 르벡 적분의 정의로 시작하지 않고 '자른다'라는 일반적인 표현으로 개념을 도입한 것입니다. 가산합을 이해할 수 있게 설명하는데 일반적인 용어를 사용할까 말까 계속 고민했는데 이는 여러분들의 의견이 듣고싶습니다. 

 

5. 외측도로 르벡 측도를 정의할 때 영상에 보시면 정의는 닫힌구간으로 하고 증명은 열린구간으로 합니다. 그렇게 큰 상관은 없다고 생각해서 둘 다 넣어보고 싶어 혼용해보았는데 어떻게 생각하시나요? T_T

 

6. 개인적으로 '점'을 지칭할 때 한국어로는 '거의 모든'이란 표현이 좀 더 맞아보이고 '성립한다'라는 개념은 '거의 어디서나'라는 표현이 더 매끄러워 어디서나(almost everywhere)와 거의 모든(almost all)이란 표현을 혼용해서 사용했습니다.