무의식적으로 사용하는 인수분해 스킬 | 증명

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우리가 학교 수학에서 배우는 방정식들은 대개 정수를 계수로 갖는 다항식들입니다. 그리고 이런류의 방정식의 근을찾는 문제가 나온다면 일반적으로 인수분해를 통해 근을 찾게 되죠.

 

이 채널을 보시는 분들은 너무나 많은 인수분해 문제를 풀어보셨을거라 익숙하게 x자 권법을 써서 암산으로 인수분해한 후 근을 찾으셨을 것입니다. 반면에 근이 잘 보이지 않는 방정식이 나온다면 어떻게 할까요? 귀찮겠지만 중학교 때주구장창 외웠던 근의 공식을 사용해서 끝끝내 근을 찾으실 것입니다.

 

삼차이상의 방정식는 어떻게 할까요? 삼차, 사차까지는 일반적인 근의 공식이 있습니다. 하지만 교육과정에서는 배우지 않고, 배워서 써먹는다 해도 너무 어렵습니다. 그래서 우리는 일반적으로 근이 될 것 같은 수들 가져와서 이용해 조립제법을 사용합니다. 그리고 차수를 낮추면서 인수분해를 하죠. (물론 사차 이상부터는 이차식 두개로 인수분해되면서 조립제법을 사용할 수 없는 문제들도 있습니다.) 저는 이번 영상을 통해 일반적으로 근이 될 것 같은 수를 찾는 스킬에 집중해보고자 합니다.

 

여러분들이 다항식의 근을 찾을 때 가장 많이 사용하는 스킬은 상수항의 약수를 근으로 생각하는 것입니다. 그리고 몇몇 문제들에서 곧 잘 통합니다. 혹시 여기에 법칙 같은게 있을까요?

 

사실 정수를 계수로 가지는 다항식의 유리수근을 찾는 방법에 대한 정리가 있습니다. 정수를 계수로 갖는 다항식의 유리수근을 u=b/a라고 하면, a는 최고차항의 계수의 약수이고, b는 상수항의 약수입니다. 이는 수업시간에 선생님들이 많이 알려주시는 스킬이라 자주 사용하실텐데 왜 이렇게 되는지 알아보죠.

 

명제를 보겠습니다. 정수 계수 다항식이 유리수 근을 갖는다면 이라는 가정에 의해 f(u)=0이므로 f에 u=b/a를 대입하면다음과 같이 식을 적을 수 있습니다. 이제 분모를 없애주기 위해 양변에 a^n을 곱해주면 식이 다음과 같이 정리 됩니다.

 

좌변에서 첫번째 항을 우변으로 이항시켜주면 1번식, 마지막 항을 이항시켜주면 2번식인 두 등식을 얻게 됩니다. 1번식은 모든 항에 a가 곱해져있으므로 다음과 같이 묶어줄 수 있고, 2번식은 모든 항에 b가 곱해져 있으므로 다음과 같이묶여줄 수 있습니다.  자 이렇게 본다면 a, b는 모두 정수이므로 두 식 모두 정수의 연산으로 되어 있습니다. 즉, a는a_nb^n의 약수이고, b는 a_0a^n의 약수가 되는 것이죠. 그런데 생각해보면 a와 b는 서로소입니다. a는 절대로 b를 나눌수 없죠. 그 말은 a는 a_n의 약수라는 뜻입니다. 예를들어 설명해보겠습니다. 3과 5는 서로소입니다. 서로를 나눌 수 없죠. 그런데 3이 n*5^4의 약수라고 해보겠습니다. 그렇다면 5를 아무리 많이 곱했더라도 3은 5의 약수가 아닙니다. 다른말로 3은 5를 나눌 수 없죠. 그럼에도 불구하고 3은 n*5^4의 약수여야만 하므로 5^4이 아닌 나머지 즉, n의 약수여야만합니다. 같은 논리로  a는 a_n의 약수, b는 a_0의 약수입니다.

 

따라서 정수 계수 다항식의 유리수 근은 반드시 (상수항의 약수)/(최고차항의 계수의 약수)꼴 이어야만 합니다.

 

이 명제가 갖는 의미를 조금 더 알아보겠습니다. 

우선 이 명제의 가정은 유리수근을 가질 때 입니다. 따라서 유리수근이 아니라면 최고차항의 계수나 상수항의 계수는의미가 없으며 다른 방법으로 근을 찾아야 합니다. 반대로 유리수 근일 때 그 근은 반드시 최고차항의 계수, 그리고 상수항의 계수와 관계가 있습니다.

 

나아가 만약 최고차항의 계수가 1이라면 1의 약수는 +-1이므로 유리수근 u는 정수가 되며 이 때 이 정수근은 상수항의약수가 되게됩니다. 우리가 정수 계수 다항식문제를 풀 때 최고차항의 계수가 1인 경우가 자주 있었으므로 상수항의약수를 근의 후보로 두고 문제를 푸는 것은 옳은 판단이었던거죠.

 

 

이 외에도 여러분들이 아는 몇가지 스킬들이 더 있을 것입니다. 예를 들어 x에 1을 대입하면 계수들만 남으므로 계수들의 합이 0이면 1이 근이라던가, 같은 방법으로 계수들의 부호를 번갈아가며 더해서 0이되면 -1이 근이 것 처럼 말이죠.

 

여러분들만의 팁이 있으시다면 댓글로 남겨주시기 바라며 오늘 수업은 여기까지