2022. 1. 15. 00:59ㆍRay 수학
모든 점에서 미분 불가능한 연속함수가 있을까요?
연속은 쉽게 생각하면 이어져있는 함수입니다.
미분이 가능한 함수는 쉽게 생각하면 부드러운 함수입니다.
여러분들이 아무리 그래프를 들쭉날쭉그려도
확대해보면 조금은 부드러운 즉 미분 가능하므로
연속이지만 모든 점에서 미분 불가능할 수는 없을 것 같은데
함수를 다음과 같이 정의하면
Sum 1/2^n cos(3^nπx)
n이 커짐에 따라 그래프는 점점 들쭉날쭉해지게 됩니다.
이 함수열급수로 생기는 극한함수는
아무리 확대해보아도
모든 값에서 미분이 불가능하게 됩니다.
끊어지지 않을만큼 충분히 뾰족해지는거죠.
참 쉽죠?
연속과 미분가능성에 대해 제가 영상에 사용한 표현에 대해 불편함을 느끼시는 분들이 많으실 것이라 예상합니다. 연속성은 그래프가 이어져 있는 것을 의미하는 것이 아닌 극한값과 함숫값이 같음을 의미합니다. 그리고 미분 가능성은 첨점의 존재유무가 아닌 각 점에서의 미분계수의 존재성을 의미합니다.
굳이 이러한 표현을 사용한 이유에 대해 말씀드리면 “연속”이라는 용어는 물체의 운동을 설명하거나 끊어지지 않은 곡선을 표현하며 Newton 시대 이래로 사용되고 있었습니다. 하지만 19세기 초에 이르러 Bozano와 Cauchy의 연구에서 수학적에서의 연속성이 중요한 성질로 인식이 되었고 나아가 Weierstrass에 이르러 연속의 개념이 극한의 개념과 이어지게 됩니다. Weierstrass이전 까지 함수는 곡선과 접선에 관한 기하학적 직관으로 주로 접근하였으나 19세기 말에 '모든 점에서 연속이지만 어떤 점에서도 도함수가 존재하지 않는 함수'가 소개되며 실해석학의 개념이 보다 깊게 발전된 계기가 되었습니다.
이전에 수학자들도 이러한 직관적인 생각(연속인 함수는 기껏해야 어느 정도의 점을 제외하면 미분가능할 것이라 추측함)으로 함수에 대해 접근했다가 충격(모든 점에서 미분 불가능한 연속함수가 존재함)을 받고 새롭게 함수에 대한 연구의 필요성을 느낀 것을 여러분들도 한 번 느껴보셨으면 하는 마음에 일부로 현대에는 논란이 있는 표현을 사용해보았습니다.
예전부터 이 함수를 소개하고 싶었습니다. shorts로 해야할지 아니면 풀어해쳐서 다 설명할지 고민하며 반년을 묵혀두었는데 여러분들께 이런 제 마음이 조금은 전달되었으면 좋겠습니다. Wierstrass Function의 연속성은 증명하기 쉬우나 미분불가능성은 증명하기 매우 어렵습니다. 자세한 설명은 블로그를 참고해주세요.
Wierstrass Function는 최초의 프랙탈 중 하나로, 자기 유사성을 지닙니다. 곡선을 확대해도 직선에 가까워지지 않으며 임의의 두 점 사이에 단조성이 없습니다. Wierstrass Function의 하우스도르프 차원 D는 f=sum(a^n)cos(b^nπx)라고 정의할 때, 2+lna/lnb로 상계를 가지므로 2+lna/lnb라고 추측하나 아직 증명이 되지는 않았습니다.
Weierstrass Function의 미분불가능성에 대한 자세한 설명
Weierstrass Function
https://www.geogebra.org/classic/yy4vykkn
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