확률값은 나야 둘이 될 수 없어

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동전던지기를 100번 할 때 앞면이 50번이상 55번이하가 나올 확률은 몇일까요?

 

확률변수 X를 앞면이 나온 횟수라 하면 X는 이항분포 B(100,1/2)를 따릅니다.

 

고등학교 교육과정에서는 이항분포의 평균과 표준편차를 구해 정규분포로 근사시킨 후

X ~ N(50,5^2)

표준화공식을 이용해 확률을 구합니다.

X가 50이상 55번 이하일 확률은 Z가 0이상 1이하일 확률과 같으므로

표준정규분포표에서 z=1.00인 값을 찾아보면 구하고자 하는 확률이 0.3413임을 얻을 수 있습니다.

 

그런데 이 확률은 정확할까요?

생각해보면 정규분포에서 확률을 구할 때 확률밀도함수를 적분하므로

Z가 0초과 1미만일 확률과 Z가 0이상 1이하일 확률은 같습니다.

이는 X가 50번 초과 55번 미만일 확률과 X가 50번이상 55번이하일 확률이 같다는 의미입니다. 대학교과정에서는 이러한차이를 보정하기 위해 이항분포를 정규근사 시킬 때 양 끝값에서 1/2씩 빼고 더해주며 이산확률변수를 연속확률변수로근사시킬 때 발생하는 오차를 줄이는 연속성 수정을 하게 됩니다. 이렇게 연속성 수정을하여 다시 정규분포를 통해 확률을 구하면 더욱 정확하게 근사한 확률을 구할 수 있습니다.

 

이젠 정말 잘 구한 것 같은데 조금 이상한 점 못느끼셨나요? 왜 계속 정확한 확률을 안구하고 계속 정규분포로 근사해서구할까요? 요즘과 같이 계산기 쓰기 좋은 시대에 근사같은 거 하지말고 애초에 이항분포의 확률질량함수인 독립시행의확률을 가져와서 X가 50번 이상 55번 이하가 나올 확률을 계산하면 정확한 확률을 구할 수 있습니다.

 

이제는 컴퓨터의 발달로 시행횟수가 큰 이항분포에서의 확률값을 구하는 것이 어렵지는 않습니다. 그래도 교육과정에서 정규근사를 가르치는 이유는 근삿값을 계산하기보다는 다른 성질을 갖는 이산확률분포와 연속확률분포가 적절한 조건아래에서 바뀔 수 있다는 점을 교육하여 정규분포가 필요하다는 것을 알려주기 위해서입니다. 그래서 통계를배우실 때 통계치의 계산보다는 기본적인 원리의 이해와 자료에 대한 비판적인 추론 능력을 개발하시기를 바라겠습니다. 오늘 수업은 여기까지