조건부 확률

조건부 확률

확률이 $0$이 아닌 사건 $A$가 일어났다고 가정할 때 사건 $B$가 일어날 확률을 조건부확률이라고 하며, 기호로 $P(B|A)$로 나타냅니다.

 

$$
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (\text{단, } P(A) \neq 0)
$$

확률의 곱셈정리

두 사건 $A$, $B$에 대하여 다음이 성립합니다.

$$
P(A \cap B) = P(A) P(B|A) \quad (\text{단, } P(A) \neq 0)
$$

사건의 독립과 종속

사건 $A$, $B$에 대하여 사건 $A$가 일어나는 것이 사건 $B$가 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이라고 합니다.

$$
P(B|A) = P(B)
$$

 

사건 $A$, $B$가 독립이면 $P(B|A^c) = P(B|A) = P(B)$가 성립합니다. 반면에 사건 $A$, $B$가 서로 독립이 아닐 때 두 사건 $A$, $B$는 종속이라고 합니다.

두 사건이 독립일 조건

두 사건 $A$, $B$가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 다음과 같습니다.

$$
P(A \cap B) = P(A) P(B) \quad (\text{단, } P(A) \neq 0, P(B) \neq 0)
$$

두 사건 $A$, $B$가 독립인지 종속인지 판별할 때는 독립과 종속의 정의보다 위의 등식을 이용하는 것이 편리합니다.

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독립시행의 확률

동일한 시행을 반복하는 경우, 각 시행에서 일어나는 사건이 서로 독립이면 이를 독립시행이라고 합니다. 어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$ ($0 < p < 1$)일 때, 이 시행을 $n$회 반복하는 독립시행에서 사건 $A$가 $r$회 일어날 확률은 다음과 같습니다.

 

$$
{}_nC_r \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r} \quad (\text{단, } r = 0, 1, 2, \dots, n)
$$