이항 정리

이항정리

자연수 $n$에 대하여 $(a+b{)}^n$의 전개식을 조합의 수를 이용하여 나타낸 식을 이항정리라고 합니다.

$$(a+b{)}^n={}_n{C}_0{a}^n+{}_n{C}_1{a}^{n-1}{b}^1+\cdots +{}_n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r+\cdots +{}_n{C}_n{b}^n$$

$(a+b{)}^n$의 전개식에서 각 항의 계수 ${}_n{C}_0,{}_n{C}_1,\cdots ,{}_n{C}_r,\cdots ,{}_n{C}_n$을 이항계수라고 하며, 일반항은 다음과 같습니다.
$${}_n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r$$

1. $a^0=1$, $b^0=1$로 정의합니다. ($a\ne 0$, $b\ne 0$)
2. $n{C}_r={}_{n}Cn-r$이므로, $(a+b{)}^n$의 전개식에서 $a^{n-r}{b}^r$의 계수와 $a^r{b}^{n-r}$의 계수는 같습니다.

이항계수의 성질

$(1+x{)}^n$을 전개하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$(1+x{)}^n={}_n{C}_0+{}_n{C}_{1}x+{}_n{C}_2{x}^2+\cdots +{}_n{C}_n{x}^n$$

이를 이용하여 이항계수의 성질을 다음과 같이 구할 수 있습니다:

1. $2^n={}_n{C}_0+{}_n{C}_1+{}_n{C}_2+\cdots +{}_n{C}_n$
2. . $0={}_n{C}_0-{}_n{C}_1+{}_n{C}_2-\cdots +(-1{)}^n{}_n{C}_n$
3. $2^{n-1}={}_n{C}_0+{}_n{C}_2+{}_n{C}_4+\cdots$
4. $2^{n-1}={}_n{C}_1+{}_n{C}_3+{}_n{C}_5+\cdots$
5. $3^n={}_n{C}_0+2\cdot {}_n{C}_1+2^2\cdot {}_n{C}_2+\cdots +2^n\cdot {}_n{C}_n$

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파스칼 삼각형

자연수 $n$의 값이 $1,2,3,4,\cdots$일 때, $(a+b{)}^n$의 전개식에서 이항계수를 삼각형 형태로 배열하면 파스칼의 삼각형이 됩니다.

$$\begin{array}{rl}n+1C_r& ={}_{n}Cr-1+n{C}_r\\ {}_{n+k+1}{C}_k& =n{C}_0+n+1C_1+n+2C_2+\cdots +{}_n{C}_k\\ {}_{n+k+1}{C}_{k+1}& =n{C}_n+n+1C_n+n+2C_n+\cdots +n+k{C}_n\end{array}$$