이항 정리

이항정리

자연수 $n$에 대하여 $(a+b)^n$의 전개식을 조합의 수를 이용하여 나타낸 식을 이항정리라고 합니다.

$$
(a+b)^n = {}_nC_0a^n + {}_nC_1a^{n-1}b^1 + \cdots + {}_nC_ra^{n-r}b^r + \cdots + {}_nC_nb^n
$$

$(a+b)^n$의 전개식에서 각 항의 계수 ${}_nC_0, {}_nC_1, \cdots, {}_nC_r, \cdots, {}_nC_n$을 이항계수라고 하며, 일반항은 다음과 같습니다.
$$
{}_nC_r a^{n-r}b^r
$$

1. $a^0 = 1$, $b^0 = 1$로 정의합니다. ($a \neq 0$, $b \neq 0$)
2. ${}nC_r = {}_nC{n-r}$이므로, $(a+b)^n$의 전개식에서 $a^{n-r}b^r$의 계수와 $a^r b^{n-r}$의 계수는 같습니다.

이항계수의 성질

$(1+x)^n$을 전개하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$
(1+x)^n = {}_nC_0 + {}_nC_1x + {}_nC_2x^2 + \cdots + {}_nC_nx^n
$$

이를 이용하여 이항계수의 성질을 다음과 같이 구할 수 있습니다:

1. $2^n= {{}_n C_0} + {{}_n C_1} + {{}_n C_2} + \cdots + {{}_n C_n}$
2. . $0 = {{}_n C_0} - {{}_n C_1} + {{}_n C_2} - \cdots + (-1)^n {{}_n C_n}$
3. $2^{n-1} = {{}_n C_0} + {{}_n C_2} + {{}_n C_4} + \cdots$
4. $2^{n-1} = {{}_n C_1} + {{}_n C_3} + {{}_n C_5} + \cdots$
5. $3^n = {{}_n C_0} + 2 \cdot {{}_n C_1} + 2^2 \cdot {{}_n C_2} + \cdots + 2^n \cdot {{}_n C_n}$

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파스칼 삼각형

자연수 $n$의 값이 $1, 2, 3, 4, \cdots$일 때, $(a+b)^n$의 전개식에서 이항계수를 삼각형 형태로 배열하면 파스칼의 삼각형이 됩니다.

$$\begin{align} {{}{n+1} C_r} &= {{}_n C{r-1}} + {{}n C_r} \\
{{}_{n+k+1} C_k} &= {{}n C_0} + {{}{n+1} C_1} + {{}{n+2} C_2} + \cdots + {{}_n C_k} \\
{{}_{n+k+1} C_{k+1}} &= {{}n C_n} + {{}{n+1} C_n} + {{}{n+2} C_n} + \cdots + {{}{n+k} C_n}\\
\end{align}$$