이산 확률 변수와 이항분포

이산확률변수와 확률질량함수

1. 확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, 이 확률변수를 이산확률변수라고 합니다.
2. 이산확률변수 가 가질 수 있는 모든 값 에 각각 대응하는 확률을 나타내는 함수를 이산확률변수 $X$의 확률질량함수라고 합니다.

$$
P(X = x_i) = p_i \quad (i = 1, 2, 3, \dots, n)
$$

확률질량함수의 성질

1. 확률은 항상 $0$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. $0 \leq p_i \leq 1$
2. 확률의 총합은 항상 1입니다: $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$

이산확률변수의 기댓값(평균)

확률질량함수 $P(X = x_i) = p_i$일 때, 확률변수 $X$의 기댓값 또는 평균은 다음과 같이 정의 됩니다. $E(X)$의 $E$는 기댓값을 뜻하는 Expectation의 첫 글자입니다. $E(X)$는 평균을 나타내는 $m$으로 표기되기도 합니다.

 

$$
E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \cdots + x_np_n
$$

이산확률변수의 분산과 표준편차

$X$의 기댓값을 $E(X) = m$이라 할 때, 확률변수 $X$의 분산은 다음과 같이 정의됩니다.

$$
V(X) = E((X - m)^2)
$$

 

분산 $V(X)$의 양의 제곱근을 $X$의 표준편차라 하며, 다음과 같이 나타냅니다:
$$
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
$$

$V(X)$의 $V$는 분산을 뜻하는 Variance의 첫 글자입니다. $\sigma(X)$는 표준편차를 뜻하는 standard deviation의 첫 글자에 해당하는 그리스 문자입니다.

 

$X$의 분산 $V(X)$은 다음 식으로 계산할 수 있습니다.

$$
V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2
$$

확률변수 의 평균, 분산, 표준편차

확률변수 $X$와 두 상수 $a, b , (a \neq 0)$에 대해 다음이 성립합니다.

1. 평균: $E(aX + b) = aE(X) + b$
2. 분산: $V(aX + b) = a^2V(X)$
3. 표준편차:$\sigma(aX + b) = |a| \sigma(X)$

이항분포

한 번의 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정할 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라고 정의합니다. 이 확률변수 $X$의 확률질량함수는 다음과 같습니다.

 

$$
P(X = x) = {}_nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x} \quad (x = 0, 1, 2, \dots, n, , q = 1 - p)
$$

 

확률변수 $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같습니다.

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X & 0 & 1 & 2 & \dots & n \\
\hline
P(X = x) & {}_nC_0 \cdot q^n & {}_nC_1 \cdot p^1 \cdot q^{n-1} & {}_nC_2 \cdot p^2 \cdot q^{n-2} & \dots & {}_nC_n \cdot p^n \\
\hline
\end{array}
$$

이와 같은 확률분포를 이항분포라고 하며, 기호로 $B(n, p)$로 나타냅니다. 확률변수 $X$는 이항분포 $B(n, p)$를 따른다고 합니다. 이항정리에 의해 확률질량함수의 모든 확률의 합은 1이 됩니다. ${}_nC_0 q^n + {}_nC_1 p^1 q^{n-1} + \cdots + {}_nC_n p^n = (p + q)^n = 1$

이항분포의 평균, 분산, 표준편차

확률변수 $X$가 이항분포 $B(n, p)$를 따를 때, 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같습니다:

1. 평균: $E(X) = np$
2. 분산: $V(X) = npq$
3. 표준편차: $\sigma(X) = \sqrt{npq} \quad (\text{단, } q = 1 - p)$

큰 수의 법칙

어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 수학적 확률이 $p$이고, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 $X$라고 할 때, $n$이 한없이 커질수록 상대도수 $\frac{X}{n}$는 이론적 확률 $p$에 수렴합니다. 이를 큰 수의 법칙이라고 합니다.

$$
\lim_{n \to \infty} P\left(\left| \frac{X}{n} - p \right| < h \right) = 1 \quad (\text{충분히 작은 } h > 0)
$$