이산 확률 변수와 이항분포

이산 확률 변수와 이항분포Math/Class2024. 11. 25. 22:26@Ray 수학

Table of Contents

이산확률변수와 확률질량함수
확률질량함수의 성질
이산확률변수의 기댓값(평균)
이산확률변수의 분산과 표준편차
확률변수 의 평균, 분산, 표준편차
이항분포
이항분포의 평균, 분산, 표준편차
큰 수의 법칙

이산확률변수와 확률질량함수

확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, 이 확률변수를 이산확률변수라고 합니다.
이산확률변수 가 가질 수 있는 모든 값 에 각각 대응하는 확률을 나타내는 함수를 이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수라고 합니다.

$P (X = x_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$

확률질량함수의 성질

확률은 항상 $0$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. $0 \leq p_{i} \leq 1$
확률의 총합은 항상 1입니다: $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$

이산확률변수의 기댓값(평균)

확률질량함수 $P (X = x_{i}) = p_{i}$ 일 때, 확률변수 $X$ 의 기댓값 또는 평균은 다음과 같이 정의 됩니다. $E (X)$ 의 $E$ 는 기댓값을 뜻하는 Expectation의 첫 글자입니다. $E (X)$ 는 평균을 나타내는 $m$ 으로 표기되기도 합니다.

$E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + x_{3} p_{3} + \dots + x_{n} p_{n}$

이산확률변수의 분산과 표준편차

$X$ 의 기댓값을 $E (X) = m$ 이라 할 때, 확률변수 $X$ 의 분산은 다음과 같이 정의됩니다.

$V (X) = E ((X - m)^{2})$

분산 $V (X)$ 의 양의 제곱근을 $X$ 의 표준편차라 하며, 다음과 같이 나타냅니다:
$σ (X) = \sqrt{V (X)}$

$V (X)$ 의 $V$ 는 분산을 뜻하는 Variance의 첫 글자입니다. $σ (X)$ 는 표준편차를 뜻하는 standard deviation의 첫 글자에 해당하는 그리스 문자입니다.

$X$ 의 분산 $V (X)$ 은 다음 식으로 계산할 수 있습니다.

$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$

확률변수 의 평균, 분산, 표준편차

확률변수 $X$ 와 두 상수 $a, b, (a \neq 0)$ 에 대해 다음이 성립합니다.

평균: $E (a X + b) = a E (X) + b$
분산: $V (a X + b) = a^{2} V (X)$
표준편차: $σ (a X + b) = | a | σ (X)$

이항분포

한 번의 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 로 일정할 때, $n$ 번의 독립시행에서 사건 $A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$ 라고 정의합니다. 이 확률변수 $X$ 의 확률질량함수는 다음과 같습니다.

$P (X = x) =_{n} C_{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x} (x = 0, 1, 2, \dots, n,, q = 1 - p)$

확률변수 $X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같습니다.

$\begin{array}{cccccc} X & 0 & 1 & 2 & \dots & n \\ P (X = x) & _{n} C_{0} \cdot q^{n} & _{n} C_{1} \cdot p^{1} \cdot q^{n - 1} & _{n} C_{2} \cdot p^{2} \cdot q^{n - 2} & \dots & _{n} C_{n} \cdot p^{n} \end{array}$

이와 같은 확률분포를 이항분포라고 하며, 기호로 $B (n, p)$ 로 나타냅니다. 확률변수 $X$ 는 이항분포 $B (n, p)$ 를 따른다고 합니다. 이항정리에 의해 확률질량함수의 모든 확률의 합은 1이 됩니다. $_{n} C_{0} q^{n} +_{n} C_{1} p^{1} q^{n - 1} + \dots +_{n} C_{n} p^{n} = (p + q)^{n} = 1$

이항분포의 평균, 분산, 표준편차

확률변수 $X$ 가 이항분포 $B (n, p)$ 를 따를 때, 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같습니다:

평균: $E (X) = n p$
분산: $V (X) = n p q$
표준편차: $σ (X) = \sqrt{n p q} (단, q = 1 - p)$

큰 수의 법칙

어떤 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 수학적 확률이 $p$ 이고, $n$ 번의 독립시행에서 사건 $A$ 가 일어나는 횟수를 $X$ 라고 할 때, $n$ 이 한없이 커질수록 상대도수 $\frac{X}{n}$ 는 이론적 확률 $p$ 에 수렴합니다. 이를 큰 수의 법칙이라고 합니다.