확률

시행과 사건

1. 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라고 합니다.
2. 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간이라고 합니다.
3. 표본공간의 부분집합을 사건이라고 합니다.
4. 한 개의 원소로 이루어진 사건을 근원사건이라고 합니다.
5. 어떤 시행에서 반드시 일어나는 사건을 전사건이라고 합니다.
6. 어떤 시행에서 절대로 일어나지 않는 사건을 공사건이라고 합니다.

일반적으로 사건과 그 사건을 나타내는 집합은 구별하지 않습니다. 표본공간은 공집합이 아닙니다.

 

합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건

1. 합사건 ($A \cup B$): $A$ 또는 $B$가 일어나는 사건.
2. 곱사건 ($A \cap B$): $A$와 $B$가 동시에 일어나는 사건.
3. 배반사건: $A \cap B = \varnothing$일 때, $A$와 $B$는 서로 배반사건.
4. 여사건 ($A^c$): $A$가 일어나지 않는 사건.

 

수학적 확률

어떤 시행에서 사건 $A$가 일어날 확률을 기호로 $P(A)$로 나타냅니다. 확률은 영어 Probability의 첫 글자인 $P$를 딴 것입니다. 표본공간 $S$에서 각 근원사건의 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $A$가 일어날 확률 $P(A)$는 다음과 같이 정의됩니다:

 

$$
P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}
$$

 

여기서 $n(A)$: 사건 $A$에 속하는 경우의 수이며, $n(S)$: 표본공간의 경우의 수입니다.

 

통계적 확률

같은 시행을 $n$번 반복할 때 사건 $A$가 일어난 횟수를 $r_n$이라 하면, $n$이 충분히 커짐에 따라 상대도수 $\frac{r_n}{n}$이 일정한 값 $p$에 가까워집니다. 이때 $p$를 사건 $A$의 통계적 확률이라고 합니다. 실제로 통계적 확률을 구할 때는 $n$을 한없이 크게 할 수 없으므로 충분히 큰 값에서의 상대도수를 사용합니다.

 

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확률의 기본 성질

표본공간이 $S$인 어떤 시행에서 확률의 기본 성질은 다음과 같습니다.

1. 임의의 사건 $A$에 대하여 $0 \leq P(A) \leq 1$
2. 반드시 일어나는 사건 $S$에 대하여 $P(S) = 1$
3. 절대로 일어나지 않는 사건 $\varnothing$에 대하여 $P(\varnothing) = 0$

 

확률의 덧셈정리

확률의 덧셈정리는 두 사건 $A$, $B$에 대하여 합사건의 확률은

 

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$

 

이며, 두 사건 $A$, $B$가 서로 배반사건인 경우

$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
$$

입니다.

여사건의 확률

표본공간 $S$의 사건 $A$와 그 여사건 $A^c$에 대하여 다음이 성립합니다.

$$
P(A^c) = 1 - P(A)
$$

$A^c$를 이용하면 ‘~이 아닌’, ‘적어도 ~인’, ‘~ 이하인’과 같은 사건의 확률을 쉽게 구할 수 있습니다.