선형변환을 행렬로 바꿀 수 있는가? $T = L_A$ for some matrix $A$

유한 차원에서 $T = L_A$

유한 차원 벡터 공간 $V$와 $W$에서, $T: V \to W$가 선형 변환이라고 가정합니다. 이 경우:

1. 표준 기저 선택:
   • $V$의 표준 기저를 ${v_1, v_2, \dots, v_n}$,
   • $W$의 표준 기저를 ${w_1, w_2, \dots, w_m}$로 설정합니다.
2. 행렬 $A$의 정의:
   $T(v_j)$를 $W$의 기저를 이용하여 표현하면:
   $$
   T(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i,
   $$
   여기서 계수 $a_{ij}$는 $m \times n$ 행렬 $A = [a_{ij}]$의 성분이 됩니다.
3. 행렬 표현:
   $$
   T(x) = A x,
   $$
   여기서 $x \in V$를 기저에 대한 좌표 벡터로 표현하면, $T$는 행렬 $A$에 의해 완전히 나타낼 수 있습니다. 이는 $T = L_A$ (즉, 행렬 $A$를 사용한 선형 변환)임을 의미합니다.

무한 차원에서 $T = L_A$

무한 차원 벡터 공간 $V$와 $W$에 대해 $T: V \to W$가 선형 변환이라고 가정하면, 유사한 아이디어를 적용할 수 있지만 몇 가지 차이가 있습니다.

1. 기저의 무한성:
   • $V$와 $W$는 무한 차원 벡터 공간이므로 기저 집합은 무한 개의 원소를 포함합니다. 예를 들어, $V$와 $W$가 함수 공간이라면 기저는 무한 개의 함수로 이루어질 수 있습니다.
2. 행렬의 정의:
   선형 변환 $T$는 무한 차원의 기저 ${v_i}{i \in \mathbb{N}}$와 ${w_i}{i \in \mathbb{N}}$에 대해:
   $$
   T(v_j) = \sum_{i=1}^\infty a_{ij} w_i
   $$
   형태로 표현됩니다. 이때 계수 $a_{ij}$는 무한 차원 행렬 $A = [a_{ij}]$의 성분을 형성합니다.
3. 무한 차원 행렬:
   • 무한 차원 행렬 $A$는 성분 $a_{ij}$가 $i, j \in \mathbb{N}$에 대해 정의된 객체로 볼 수 있습니다.
   • 일반적으로 무한 차원 행렬은 함수 공간, 일련의 좌표 변환, 적분 변환과 같은 무한 차원 연산자에 의해 모델링됩니다.
4. 수렴성 문제:
   • 무한 차원 행렬 $A$와 벡터 $x$ 간의 곱셈 $\sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j$는 수렴 조건을 만족해야 의미가 있습니다.
   • 따라서 무한 차원 선형 변환 $T$가 특정 행렬 $A$로 표현되려면 수렴성, 바운드, 또는 특정 규칙(예: Hilbert 공간의 선형 연산자)이 필요합니다.

무한 차원을 갖는 행렬의 정의 가능성

무한 차원에서의 행렬과 선형 변환을 다루기 위해서는 몇 가지 중요한 정의와 조건을 만족해야 합니다. 이는 무한 차원 벡터 공간이나 함수 공간에서 선형 변환의 연속성, 바운드성, 수렴성 같은 개념에 기반합니다. 아래에서 무한 차원에서의 정의와 조건들을 체계적으로 설명하겠습니다.

1. 무한 차원 행렬의 정의

무한 차원 행렬 $A = [a_{ij}]$는 $i, j \in \mathbb{N}$ 또는 $i, j \in \mathbb{Z}$ (인덱스가 무한한 집합)을 기준으로 성분 $a_{ij}$를 정의한 객체입니다. 이를 일반화하면, 다음 조건을 만족해야 유의미한 연산이 가능합니다:

1.1. 무한 차원에서의 벡터 곱 정의

행렬 $A$와 벡터 $x = {x_j}$ 간의 곱은 다음처럼 정의됩니다:
$$
(Ax)i = \sum{j=1}^\infty a_{ij} x_j
$$
이 합이 모든 $i$에 대해 수렴해야 합니다. 따라서 $A$와 $x$는 아래와 같은 조건 중 하나를 만족해야 합니다:

• 벡터 $x$는 특정 공간(예: $l^1$, $l^2$)에 속해야 합니다.
• 행렬 $A$는 바운드 연산자(bounded operator)의 조건을 만족해야 합니다.

1.2. 벡터 공간의 정의

무한 차원 행렬은 주로 특정 함수 공간에서 정의된 연산자와 연결됩니다. 대표적인 공간은 다음과 같습니다:

• $l^p$ 공간: 무한 벡터 $x = {x_j}$에 대해 $|x|p = \left( \sum{j=1}^\infty |x_j|^p \right)^{1/p}$가 유한한 경우.
• Hilbert 공간 $l^2$: 벡터 $x = {x_j}$가 $|x|2 = \left( \sum{j=1}^\infty |x_j|^2 \right)^{1/2}$를 만족하는 공간.
• Banach 공간: 노름 공간으로, $x$의 노름 $|x|$가 유한한 경우.
• 함수 공간: $C[a, b]$ (연속 함수), $L^2[a, b]$ (제곱 적분 가능 함수) 등.

1.3. 선형 변환 $T$와의 관계

행렬 $A$는 선형 변환 $T: X \to Y$의 구체적 표현입니다. 여기서 $X, Y$는 무한 차원 벡터 공간이며, $T$는 다음 조건을 만족해야 합니다:

1. 선형성: $T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y)$ ($\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$).
2. 바운드성: $|T(x)| \leq C |x|$를 만족하는 상수 $C > 0$가 존재해야 함.

2. 무한 차원에서 행렬 연산의 조건

무한 차원 행렬을 사용할 때는 연산이 잘 정의되기 위한 추가 조건이 필요합니다:

2.1. 바운드 선형 변환

행렬 $A$는 벡터 $x$에 대해 바운드 선형 변환(bounded linear operator)이어야 합니다. 즉, 다음 조건을 만족해야 합니다:
$$
|Ax| \leq C |x|,
$$
여기서 $C > 0$는 상수입니다. 이 조건이 만족되면 $A$는 벡터 공간의 바운드 선형 변환으로 정의됩니다.

2.2. 수렴 조건

무한 합 $\sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j$가 수렴하려면:

1. $x$의 제약: $x \in l^p$ 또는 $l^2$와 같은 공간에 속해야 함.
2. 행렬 $A$의 제약: $a_{ij}$의 성분이 적절히 제한되어야 함. 예:
   • $a_{ij}$가 $j$에 대해 빠르게 0으로 수렴.
   • $a_{ij}$가 $j$의 크기와 관계없이 절대적으로 유계.