증명 개요실수 집합 $\mathbb{R}$을 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터 공간으로 간주할 때, 만약 이 벡터 공간이 유한 차원이라면 모든 실수가 유리수 계수 다항식의 근 즉, algebraic 한 수여야 합니다.그러나 $\mathbb{R}$에는 transcendental 인 수가 존재하므로 모순이 발생하여, $\mathbb{R}$은 무한 차원임을 증명할 수 있습니다.1. 유한 차원 벡터 공간의 가정가정: $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원 벡터 공간이라고 가정합니다.그렇다면 유한 개의 기저 ${ v_1, v_2, \dots, v_n }$가 존재하여, 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$는 다음과 같이 표현됩니다:$$\alpha = q_1 v_1 ..

1. 하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximal Principle)하우스도르프 극대원리는 선택공리(Axiom of Choice)와 동치인 명제 중 하나로, 다음과 같이 서술할 수 있습니다.정의: 부분순서집합 $(P, \leq)$에서 임의의 사슬(chain, 전순서 부분집합)은 극대 원소(maximal element)를 포함한다.이는 초른 보조정리(Zorn's Lemma)와 유사한 형태를 띠지만, 그 개념이 약간 다릅니다. 하우스도르프 극대원리는 단순히 모든 전순서 집합(chain)이 극대 원소를 포함한다는 사실을 보장하는 반면, 초른 보조정리는 극대 원소의 존재성을 보장하는 원리로 사용됩니다.하우스도르프 극대원리의 역사적 배경하우스도르프 극대원리는 독일의 수학자 펠릭스 하우스도르프(Felix ..

벡터 공간 $V$ 와 $W$ 가 각각 유한 차원을 갖는다고 가정하겠습니다.$\dim(V) = n$$\dim(W) = m$이제, 새로운 벡터 공간 $Z$ 를 다음과 같이 정의합니다.$$Z = V \times W = { (v, w) \mid v \in V, w \in W }$$이 벡터 공간 $Z$ 의 차원을 구해 보겠습니다.1. $Z$ 가 벡터 공간인지 확인두 원소 $(v_1, w_1)$, $(v_2, w_2)$ 에 대해 덧셈이 정의됩니다:$$(v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2)$$이는 $V$ 와 $W$ 의 벡터 공간 구조를 따르므로 닫혀 있습니다.스칼라 곱셈도 정의됩니다:$$c(v, w) = (cv, cw)$$역시 벡터 공간의 조건을 만족합니다.그러므로 $..

1. 생성집합(Span)정의: 벡터 공간 $V$에서 생성집합은 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들어질 수 있는 모든 벡터들의 집합입니다.수학적 표현:$$\text{Span}\{v_1, v_2, \dots, v_k\} = \left\{\sum_{i=1}^k c_i v_i \mid c_i \in \mathbb{R}\right\}$$여기서 $v_1, v_2, \dots, v_k$는 $V$의 벡터들입니다.특징:생성집합은 주어진 벡터들이 "생성할 수 있는" 전체 공간을 나타냅니다.생성집합은 중복된 벡터나 선형 종속 벡터를 포함할 수 있습니다.2. 기저(Basis)정의: 벡터 공간 $V$에서 기저는 $V$의 모든 벡터를 유일하게 생성할 수 있는 벡터들의 집합입니다.즉, 기저는 벡터 공간을 표현하기 위해 필요한 최소..

1. Span의 정의집합 $S$가 벡터공간 $V$에서 주어졌을 때, $S$의 span은 다음과 같이 정의됩니다.$$\text{span}(S) = \left\{ c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n \mid c_1, c_2, \dots, c_n \in \mathbb{R}, v_1, v_2, \dots, v_n \in S \right\}$$즉, $S$에 있는 벡터들의 선형결합(Linear Combination)을 통해 생성되는 부분공간입니다.2. 공집합 \emptyset$ 의 span만약 $S = \emptyset$이라면, $S$에는 아무런 벡터도 포함되지 않습니다. 그러면 선형결합을 만들 기본 벡터 자체가 존재하지 않음을 의미합니다. 하지만, 벡터공간의 성질을 유지하면서 최소한의..

"Arbitrary"라는 단어는 수학에서 특정한 값을 고정하지 않고 임의로 선택한 경우를 나타낼 때 사용됩니다. 주어진 맥락에서 "arbitrary"는 다음과 같은 의미로 해석됩니다:1. 임의로 선택한 $s_0$문장에서 "Let $s_0 \in S$ arbitrary"는 $S$의 원소 $s_0$를 특별한 조건 없이 임의로 선택했다는 뜻입니다. 이는 $s_0$가 $S$의 아무 원소라도 될 수 있다는 것을 나타냅니다.2. 특정하지 않음"Arbitrary"는 특정 값이나 속성에 제한을 두지 않음을 강조합니다. $s_0$가 어떤 원소이든, 주어진 논리나 조건이 모든 경우에 대해 성립함을 보이기 위한 가정입니다.3. 일반성을 나타냄"Arbitrary"를 사용하면 논의가 특정 상황에 국한되지 않고, 모든 $s_0$..