오일러 공식1752년, 오일러는 볼록한 다면체의 꼭짓점($V$), 모서리($E$), 면($F$)의 개수 사이에 다음과 같은 관계가 성립함을 발견했습니다.[^1]이 공식은 오일러 이전에도 이러한 패턴이 다면체에 존재한다는 것은 알려져 있었지만, 그것이 모든 다면체에 적용될 수 있다는 것은 오일러가 처음 발견한 것이었습니다. 이는 흔히 오일러 지표(Euler characteristic)라 불리며 폐쇄된 면을 가진 공간의 특성을 나타내는 수학적 속성을 나타냅니다. $$\chi =V-E+F$$ 정리의 이름과 달리, 완전한 첫 증명은 다른 수학자들에 의해 이루어졌습니다. 각 수학자들은 독특하고 창의적인 접근 방식으로 이 공식을 증명했으며, 특히 코시의 증명 방법이 주목을 받았습니다.[^2] 코시의 증명코시는 오일..

1. The EPR ParadoxEPR 패러독스의 배경1935년 아인슈타인, 포돌스키, 로젠(Einstein, Podolsky, Rosen)이 제기한 EPR 논문은 양자역학의 불완전성을 주장한 중요한 철학적 도전이었습니다. 그들은 양자역학이 특정 상황에서 완전하지 않다고 주장하며, 특히 '국소성'(locality)과 '현실성'(realism)의 개념에 대해 문제를 제기했습니다. 국소성은 물리적 사건이 서로 근처에 있을 때만 영향을 주고받을 수 있다는 가정을 의미하며, 현실성은 측정되지 않더라도 물리적 실체가 존재한다는 가정입니다.EPR 패러독스의 핵심 내용EPR은 양자역학이 물리적 실체의 상태를 완전히 기술하지 못한다고 주장했습니다. 그들은 스핀 1/2 입자 쌍을 예로 들며, 한 입자의 상태를 측정하면 ..

함수의 연속이란 무엇일까요? 흔히 함수의 연속은 함수가 '이어져 있다'고 생각할 수 있습니다. 이 말은 틀리지 않습니다. 원래 '연속'이란 '이어진 함수'라는 개념을 수학적으로 표현하고자 하는 시도로부터 나온 개념입니다. 정의도 구멍이 난 곳이 없어야 하므로 극한값이 함숫값과 같아야 합니다.$$\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$$ 그런데 이러한 정의는 '이어져 있다'라는 성질을 완벽히 표현하지는 못합니다. 예를 들어 유리수에서는 $y=x$를, 무리수에서는 $0$을 함숫값으로 갖는 함수를 생각해보겠습니다. 이 함수는 실수의 성질에 의해 자명하게 모든 점에서 이어져 있지 않습니다. 하지만 $x=0$에서의 극한값과 함숫값이 모두 $0$이므로 $x=0$에서 연속의 정의를 만족합니다. ..

멱집합의 정의멱집합은 어떤 집합의 모든 부분집합들의 집합을 의미합니다. 예를 들어, 집합 $A = {1, 2}$가 있을 때, $A$의 멱집합은 $\mathcal{P}(A) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$입니다. 멱집합은 기호 $\mathcal{P}(A)$로 나타내며, $A$의 부분집합을 모두 포함합니다.멱집합의 한자어 의미'멱집합'의 '멱'은 한자로 '멱력(冪力)'의 '멱'에서 유래했습니다. '멱력'은 수학적으로 거듭제곱을 의미하며, 집합의 모든 부분집합을 다루는 방식이 거듭제곱과 유사하기 때문에 이런 이름이 붙었습니다.멱집합의 특징멱집합은 원래 집합 $A$의 크기 $n$이 주어졌을 때, $2^n$개의 원소를 가집니다. 예를 들어, $A$가 ${1, 2}$일 때, $\mathc..

미적분학을 배우면서 여러분은 고차 도함수에 익숙해졌을 것입니다. 첫 번째 도함수는 그래프의 기울기를 나타내고, 두 번째 도함수는 오목함을 나타내며, 이와 같은 방식으로 계속됩니다. 함수의 $n$차 도함수를 계산하는 것은 그 함수에 대해 $n$번 도함수를 구하는 것입니다. 이는 자연스럽게 이해됩니다. 그러나 분수 도함수를 구한다는 것은 무엇을 의미할까요? 오늘 우리는 분수 미적분학이라는 또 다른 미적분학의 가지를 탐구할 것입니다.분수 도함수이 표현은 여러 의미를 가질 수 있습니다. 먼저, 이를 반복적인 미분으로 생각할 수 있습니다. 함수의 $n$차 도함수를 구한다는 것은 그 함수에 대해 $n$번 미분을 수행하는 것을 의미합니다. 그러나 이는 양의 정수에 대해서만 의미가 있습니다. 이 표현을 다른 수로 확장..

혹시 절댓값의 정의를 기억하시나요? 절댓값이라는 단어를 들으면 대부분의 사람들은 양수나 $0$을 떠올립니다. 하지만 이것은 그저 언어적인 해석일 뿐, 수학적으로는 더 깊은 의미를 갖고 있습니다. 절댓값의 기호는 $\vert A \vert$이며, 이것은 원점에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 거리라고 할 수 있습니다. 여기서 재미있는 점은, 절댓값은 $\vert A - 0 \vert$로 표현될 수 있다는 것입니다. 이렇게 표현하면 절댓값이 0으로부터의 거리라는 것이 명확해집니다. 한 발짝 더 나아가보죠. 절댓값은 거리를 나타내는 개념이므로 방향이 없습니다. 즉, $\vert 5 - 0 \vert$와 $\vert -5 - 0 \vert$는 동일한 값을 가지게 됩니다. 왜냐하면 둘 다 원점으로부터 $5$만큼..