이산확률변수와 확률질량함수확률변수가 가질 수 있는 값들이 유한개이거나 자연수와 같이 셀 수 있을 때, 이 확률변수를 이산확률변수라고 합니다.이산확률변수 가 가질 수 있는 모든 값 에 각각 대응하는 확률을 나타내는 함수를 이산확률변수 $X$의 확률질량함수라고 합니다.$$P(X = x_i) = p_i \quad (i = 1, 2, 3, \dots, n)$$확률질량함수의 성질확률은 항상 $0$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. $0 \leq p_i \leq 1$확률의 총합은 항상 1입니다: $p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$이산확률변수의 기댓값(평균)확률질량함수 $P(X = x_i) = p_i$일 때, 확률변수 $X$의 기댓값 또는 평균은 다음과 같이 정의 됩니다. $E(X)$의 $E$는..

조건부 확률확률이 $0$이 아닌 사건 $A$가 일어났다고 가정할 때 사건 $B$가 일어날 확률을 조건부확률이라고 하며, 기호로 $P(B|A)$로 나타냅니다. $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (\text{단, } P(A) \neq 0)$$확률의 곱셈정리두 사건 $A$, $B$에 대하여 다음이 성립합니다.$$P(A \cap B) = P(A) P(B|A) \quad (\text{단, } P(A) \neq 0)$$사건의 독립과 종속사건 $A$, $B$에 대하여 사건 $A$가 일어나는 것이 사건 $B$가 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이라고 합니다.$$P(B|A) = P(B)$$ 사건 $A$, $B$가 독립이면 $P(B|A^c) ..

시행과 사건같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라고 합니다.어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간이라고 합니다.표본공간의 부분집합을 사건이라고 합니다.한 개의 원소로 이루어진 사건을 근원사건이라고 합니다.어떤 시행에서 반드시 일어나는 사건을 전사건이라고 합니다.어떤 시행에서 절대로 일어나지 않는 사건을 공사건이라고 합니다.일반적으로 사건과 그 사건을 나타내는 집합은 구별하지 않습니다. 표본공간은 공집합이 아닙니다. 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건합사건 ($A \cup B$): $A$ 또는 $B$가 일어나는 사건.곱사건 ($A \cap B$): $A$와 $B$가 동시에 일어나는 사건.배반사건: $A \cap B = \varnothi..

이항정리자연수 $n$에 대하여 $(a+b)^n$의 전개식을 조합의 수를 이용하여 나타낸 식을 이항정리라고 합니다.$$(a+b)^n = {}_nC_0a^n + {}_nC_1a^{n-1}b^1 + \cdots + {}_nC_ra^{n-r}b^r + \cdots + {}_nC_nb^n$$$(a+b)^n$의 전개식에서 각 항의 계수 ${}_nC_0, {}_nC_1, \cdots, {}_nC_r, \cdots, {}_nC_n$을 이항계수라고 하며, 일반항은 다음과 같습니다.$${}_nC_r a^{n-r}b^r$$$a^0 = 1$, $b^0 = 1$로 정의합니다. ($a \neq 0$, $b \neq 0$)${}nC_r = {}_nC{n-r}$이므로, $(a+b)^n$의 전개식에서 $a^{n-r}b^r$의 계수와 ..

순열서로 다른 $n$개에서 $r$ ($0 순열이라고 하며, 이 순열의 수를 기호로 ${}_n P_r$와 같이 나타냅니다.${}_n P_n = n!$, ${}_n P_0 = 1$, $0! = 1$일반적으로 ${}_n P_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ (단, $0 \leq r \leq n$)조합서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$ ($0 조합이라고 합니다. 조합의 수는 기호로 ${}_n C_r$로 나타냅니다.${}_n C_n = 1, \quad {}_n C_0 = 1$${}_n C_r = \frac{{}_n P_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \quad (\text{단, } 0 \leq r \leq n)$${}n C_r = {}_n C{n-r} \quad (\t..

직관적이고 심지어 당연해 보였다. 그러나 틀렸다. 수학의 많은 부분은 직관에 의해 움직입니다. 어떤 것이 사실일 것이라는 깊은 믿음에서 시작되죠. 하지만 때로는 이러한 본능이 수학자를 잘못된 길로 이끌기도 합니다. 초기 증거가 전체 그림을 대변하지 않을 수도 있고, 겉보기에 분명해 보이는 명제가 숨겨진 복잡성에 의해 반박될 수도 있습니다.최근, 세 명의 수학자가 확률론의 잘 알려진 가설 중 하나인 ’2층 침대 추측(bunkbed conjecture)’이 이러한 범주에 속한다는 것을 밝혀냈습니다. 이 추측은 2층 침대처럼 쌓아 올린 그래프라는 수학적 미로를 탐색하는 방법에 대한 것입니다. 이 추측은 자연스럽고, 심지어 자명하게 보였습니다. 프린스턴 대학교의 그래프 이론 학자 마리아 추드노브스키(Maria..