Why Is This Shape So Terrible to Pack? | Quanta Magazine Why Is This Shape So Terrible to Pack? | Quanta MagazineTwo mathematicians have proved a long-standing conjecture that is a step on the way toward finding the worst shape for packing the plane.www.quantamagazine.org 수세기 동안 수학자들은 육각형이 공간을 채우는 최적의 타일링 방식일 것이라고 믿어왔습니다. 즉, 넓은 영역을 일정한 크기의 타일로 나누면서 타일의 둘레를 최소화하고 싶다면, 육각형이 가장 효율적이라는 의미입니다. 1999년,..

여러분은 파티를 준비하고 있고, 초대할 손님 명단을 작성 중입니다. 파티가 즐겁게 진행되려면 몇 명을 초대해야 할까요? 여기서 핵심은 초대된 사람들 사이의 관계입니다. 모든 손님이 서로 잘 아는 사이라면 이야깃거리가 금방 고갈될 수 있습니다. 반대로, 모든 손님이 서로 모르는 사이라면 어색한 분위기가 형성될 수도 있죠. 따라서, 손님들 사이의 관계가 적당히 섞여 있는 것이 중요합니다. 그렇다면, 이 균형을 유지하면서도 파티가 흥미롭게 진행되려면 어떻게 해야할까요? 이런 질문을 던져봅시다. 적어도 3명이 서로 알거나, 3명이 서로 모르는 그룹이 생기도록 하려면 최소 몇 명의 손님을 초대해야 할까요? 파티 플래너 문제와 그래프앞서 본 문제를 파티 플래너 문제라고 부릅니다. 이 문제를 이해하기 위해서는 그래프..

오일러 공식1752년, 오일러는 볼록한 다면체의 꼭짓점($V$), 모서리($E$), 면($F$)의 개수 사이에 다음과 같은 관계가 성립함을 발견했습니다.[^1]이 공식은 오일러 이전에도 이러한 패턴이 다면체에 존재한다는 것은 알려져 있었지만, 그것이 모든 다면체에 적용될 수 있다는 것은 오일러가 처음 발견한 것이었습니다. 이는 흔히 오일러 지표(Euler characteristic)라 불리며 폐쇄된 면을 가진 공간의 특성을 나타내는 수학적 속성을 나타냅니다. $$\chi =V-E+F$$ 정리의 이름과 달리, 완전한 첫 증명은 다른 수학자들에 의해 이루어졌습니다. 각 수학자들은 독특하고 창의적인 접근 방식으로 이 공식을 증명했으며, 특히 코시의 증명 방법이 주목을 받았습니다.[^2] 코시의 증명코시는 오일..

1. The EPR ParadoxEPR 패러독스의 배경1935년 아인슈타인, 포돌스키, 로젠(Einstein, Podolsky, Rosen)이 제기한 EPR 논문은 양자역학의 불완전성을 주장한 중요한 철학적 도전이었습니다. 그들은 양자역학이 특정 상황에서 완전하지 않다고 주장하며, 특히 '국소성'(locality)과 '현실성'(realism)의 개념에 대해 문제를 제기했습니다. 국소성은 물리적 사건이 서로 근처에 있을 때만 영향을 주고받을 수 있다는 가정을 의미하며, 현실성은 측정되지 않더라도 물리적 실체가 존재한다는 가정입니다.EPR 패러독스의 핵심 내용EPR은 양자역학이 물리적 실체의 상태를 완전히 기술하지 못한다고 주장했습니다. 그들은 스핀 1/2 입자 쌍을 예로 들며, 한 입자의 상태를 측정하면 ..

함수의 연속이란 무엇일까요? 흔히 함수의 연속은 함수가 '이어져 있다'고 생각할 수 있습니다. 이 말은 틀리지 않습니다. 원래 '연속'이란 '이어진 함수'라는 개념을 수학적으로 표현하고자 하는 시도로부터 나온 개념입니다. 정의도 구멍이 난 곳이 없어야 하므로 극한값이 함숫값과 같아야 합니다.$$\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$$ 그런데 이러한 정의는 '이어져 있다'라는 성질을 완벽히 표현하지는 못합니다. 예를 들어 유리수에서는 $y=x$를, 무리수에서는 $0$을 함숫값으로 갖는 함수를 생각해보겠습니다. 이 함수는 실수의 성질에 의해 자명하게 모든 점에서 이어져 있지 않습니다. 하지만 $x=0$에서의 극한값과 함숫값이 모두 $0$이므로 $x=0$에서 연속의 정의를 만족합니다. ..

멱집합의 정의멱집합은 어떤 집합의 모든 부분집합들의 집합을 의미합니다. 예를 들어, 집합 $A = \{1, 2\}$가 있을 때, $A$의 멱집합은 $\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$입니다. 멱집합은 기호 $\mathcal{P}(A)$로 나타내며, $A$의 부분집합을 모두 포함합니다.멱집합의 한자어 의미'멱집합'의 '멱'은 한자로 '멱력(冪力)'의 '멱'에서 유래했습니다. '멱력'은 수학적으로 거듭제곱을 의미하며, 집합의 모든 부분집합을 다루는 방식이 거듭제곱과 유사하기 때문에 이런 이름이 붙었습니다.멱집합의 특징멱집합은 원래 집합 $A$의 크기 $n$이 주어졌을 때, $2^n$개의 원소를 가집니다. 예를 들어, $A$가 $\{1, 2\}$..