이건 또 뭐야? $\cdots999=-1$

$0.\dot9$=1인 것은 누구나 다 아는 사실입니다. 그렇다면 반대로 자릿수가 커져가면서 $9$가 계속 나오는 이러한 수는 얼마 일까요? 믿기 어렵겠지만 $\cdots999=-1$입니다. 세 가지 방법으로 이 등식이 성립함을 보여보겠습니다.

$\cdots999=-1$을 증명하는 3가지 방법

1. 대수적 방법

$0.\dot9=1$을 증명하는 것과 같이 이 수를 $s = \cdots999$라고 가정한 후 $10$을 곱하면, $10s = \cdots990$이 됩니다. 두 식을 빼면 $-9s = 9$이므로 $s = -1$입니다.

$$\begin{align*}
s &= \cdots999 \\
10s &= \cdots990 \\
\\
s - 10s &= -9 \\
9s &= -9 \\
s &= -1
\end{align*}$$

2. 더하기 1

좀 더 쉬운 방법도 있습니다. $\cdots999$에 $1$을 더하면 어떻게 될까요?

$$
\begin{array}{c}
& & \cdots & 9 & 9 & 9 \\
& + & & & & 1 \\
\hline
& & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
$$

이 수에 $1$을 더하면 $9+1=10$이므로 자릿수가 하나씩 올라가면서 반복적으로 $0$을 만들게 됩니다. 결과적으로 모든 자릿수가 $0$이 되므로 $\cdots999$는 $1$을 더하면 $0$을 만드는 수입니다. 결과적으로 $\cdots999=-1$입니다.

3. 등비 급수를 이용한 방법

$\cdots999$는 $9 + 90 + 900 + \cdots$ 이므로 초항이 $9$이고 공비가 $10$인 등비 급수로 볼 수 있습니다. 따라서 등비급수의 합 공식을 이용하면

$$
S = \frac{9}{1 - 10} = -1
$$

입니다.

$p$진수(p進數, $p$-adic number)

물론 앞서 본 식들은 일반적인 상황에서는 성립하지 않습니다. 하지만 $p$진수 흔히 $p$-adic number라 불리는 이 수는 특정한 기저에 대한 숫자의 표현을 확장한 것입니다. 대개 소수 $p$가 주어졌을때, $p$진수는 유리수의 확장으로서 실수와는 조금 다른 특성을 가집니다. 이 수들은 $10$진수와 유사한 형태로 표현될 수 있지만, 자릿수는 소수 $p$를 기반으로 하며, 오른쪽이 아닌 왼쪽으로 무한히 확장될 수 있습니다.

$$
s = \sum_{i=k}^{\infty} a_{i}p^{i} = a_{k}p^{k} + a_{k+1}p^{k+1} + a_{k+2}p^{k+2} + \cdots
$$

여기서 $k$는 정수이고, 각 $a_{i}$는 $0 \leq a_{i} < p$인 정수입니다. 이 급수는 일반적인 의미에서 수렴하지 않지만, $p$-아디크 절대값에 대해서는 수렴합니다.

$$
|s|_{p} = p^{-k}
$$

모든 유리수는 위의 급수의 합으로 고유하게 표현될 수 있으며, 이를 통해 유리수를 특별한 $p$진수로 표현할 수 있습니다. 이렇게 정의한 수는 완비거리 공간(모든 코시수열이 수렴)을 만족하므로 실수에서 성립한 성질들이 $p$진수에서도 상당히 많이 유지되어 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있습니다.

이론물리학에서 시공간을 묘사하거나 양자장 이론을 분석할 때 응용될 수 있으며, 컴퓨터 공학에서는 데이터 압축이나, 암호, 그래픽에도 응용되죠. 쓸모없는 숫자놀이인 것처럼 보이지만 다 쓸데가 있어서 만드는게 아닐까요?