이건 또 뭐야? $\cdots999=-1$

$0.\dot{9}$=1인 것은 누구나 다 아는 사실입니다. 그렇다면 반대로 자릿수가 커져가면서 $9$가 계속 나오는 이러한 수는 얼마 일까요? 믿기 어렵겠지만 $\cdots 999=-1$입니다. 세 가지 방법으로 이 등식이 성립함을 보여보겠습니다.

$\cdots 999=-1$을 증명하는 3가지 방법

1. 대수적 방법

$0.\dot{9}=1$을 증명하는 것과 같이 이 수를 $s=\cdots 999$라고 가정한 후 $10$을 곱하면, $10s=\cdots 990$이 됩니다. 두 식을 빼면 $-9s=9$이므로 $s=-1$입니다.

$$\begin{array}{rl}s& =\cdots 999\\ 10s& =\cdots 990\\ \\ s-10s& =-9\\ 9s& =-9\\ s& =-1\end{array}$$

2. 더하기 1

좀 더 쉬운 방법도 있습니다. $\cdots 999$에 $1$을 더하면 어떻게 될까요?

$$\begin{array}{cccccc}& & \cdots & 9& 9& 9\\ & +& & & & 1\\ & & \cdots & 0& 0& 0\end{array}$$

이 수에 $1$을 더하면 $9+1=10$이므로 자릿수가 하나씩 올라가면서 반복적으로 $0$을 만들게 됩니다. 결과적으로 모든 자릿수가 $0$이 되므로 $\cdots 999$는 $1$을 더하면 $0$을 만드는 수입니다. 결과적으로 $\cdots 999=-1$입니다.

3. 등비 급수를 이용한 방법

$\cdots 999$는 $9+90+900+\cdots$ 이므로 초항이 $9$이고 공비가 $10$인 등비 급수로 볼 수 있습니다. 따라서 등비급수의 합 공식을 이용하면

$$S=\frac{9}{1-10}=-1$$

입니다.

$p$진수(p進數, $p$-adic number)

물론 앞서 본 식들은 일반적인 상황에서는 성립하지 않습니다. 하지만 $p$진수 흔히 $p$-adic number라 불리는 이 수는 특정한 기저에 대한 숫자의 표현을 확장한 것입니다. 대개 소수 $p$가 주어졌을때, $p$진수는 유리수의 확장으로서 실수와는 조금 다른 특성을 가집니다. 이 수들은 $10$진수와 유사한 형태로 표현될 수 있지만, 자릿수는 소수 $p$를 기반으로 하며, 오른쪽이 아닌 왼쪽으로 무한히 확장될 수 있습니다.

$$s=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}^i=a_k{p}^k+a_{k+1}{p}^{k+1}+a_{k+2}{p}^{k+2}+\cdots$$

여기서 $k$는 정수이고, 각 $a_i$는 $0\le a_i<p$인 정수입니다. 이 급수는 일반적인 의미에서 수렴하지 않지만, $p$-아디크 절대값에 대해서는 수렴합니다.

$$|s{|}_p=p^{-k}$$

모든 유리수는 위의 급수의 합으로 고유하게 표현될 수 있으며, 이를 통해 유리수를 특별한 $p$진수로 표현할 수 있습니다. 이렇게 정의한 수는 완비거리 공간(모든 코시수열이 수렴)을 만족하므로 실수에서 성립한 성질들이 $p$진수에서도 상당히 많이 유지되어 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있습니다.

이론물리학에서 시공간을 묘사하거나 양자장 이론을 분석할 때 응용될 수 있으며, 컴퓨터 공학에서는 데이터 압축이나, 암호, 그래픽에도 응용되죠. 쓸모없는 숫자놀이인 것처럼 보이지만 다 쓸데가 있어서 만드는게 아닐까요?