추측을 함부로 하면 안되는 이유

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흔히 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$라 불리는 이 함수는 $-\infty$부터 $\infty$까지 적분하면 $\pi$가 됩니다.

$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} ; dx
&= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} ; dx \\
&= 2 \int_{0}^{\infty} \sin x \left( \int_{0}^{\infty} e^{-xt} ; dt \right) ; dx \\
&= 2 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \sin x , e^{-tx} ; dx dt \\
&= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 1} \\
&= \vphantom{\int}2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi.
\end{align}
$$

비슷한 형태로 $x$축 방향으로 $3$배만큼 확대한 함수를 곱해도 신기하게 적분값은 변화가 없습니다.

 

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}dx=\pi\
$$

 

$$
\because \mathcal{F} \left\{ \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \right\} = \delta(f - 1/3) + \delta(f + 1/3)
$$

 

같은 방법으로 계속 함수를 곱해도 적분값은 변하지 않아서 이 현상이 계속 일어날 것 처럼 보이지만

 

$$
\begin{gather}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5}dx=\pi\\\\
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5}\frac{\sin(x/7)}{x/7}dx=\pi\\\\
\vdots\\\\
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/11)}{x/11}dx=\pi\\\\
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13}dx=\pi\\\\
\end{gather}
$$

 

갑자기 $15$부터는 이러한 규칙성이 미묘하게 깨지는 것을 확인할 수 있습니다.[^1]

$$
\begin{align}
& \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15}dx\\
\\
& = \frac{935615849426881477393075728938}{935615849440640907310521750000}\pi \\
\\
& \approx \pi-4.62\times10^{-11}
\end{align}
$$

 

이는 디랙 델타함수의 성질에 의해 역수의 합이 $1$보다 크거나 작을 때 생기는 차이에 따라 생기는 현상입니다.

 

$$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{13} = 0.9551\cdots < 1 $$

$$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{15} = 1.0218\cdots> 1 $$

 

당연해 보이는 추측에도 한 번씩 의심을 해보는 것이 어떨까요?

 

 

Dirac 델타 함수는 특정 지점에서 무한히 높고, 그 외의 지점에서는 0인 함수입니다. 이 함수의 적분값은 1입니다.

$$\mathcal{F} \left\{ \frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \right\} = \delta(f - 1/3) + \delta(f + 1/3)$$
이 식은 주어진 함수의 Fourier 변환 결과가 두 개의 Dirac 델타 함수의 합이라는 것을 의미합니다. 이 델타 함수들은 $f = \pm 1/3$에서 발생합니다.
이제 역변환을 생각해봅시다. 두 개의 델타 함수를 역변환하면 원래의 함수가 되고, 이 함수의 적분값은 델타 함수의 적분값인 1을 두 번 더한 값, 즉 2가 됩니다. 그런데 원래의 적분 문제에서는 $\pi$가 곱해져 있으므로, 최종적인 적분값은 $2 \times \pi/2 = \pi$가 됩니다.

Dirac Delta

$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}{\sin(x) \over x},{\rm d}x & =\int_{-\infty}^{\infty}\left({1 \over 2},\int_{-1}^{1}{\rm e}^{{\rm i}kx},{\rm d}k\right),{\rm d}x\\
& =\pi\int_{-1}^{1}{\rm d}k\int_{-\infty}^{\infty}{{\rm d}x \over 2\pi},{\rm e}^{{\rm i}kx}\\
& =\pi\int_{-1}^{1}{\rm d}k,\delta(k) = \pi
\end{align}
$$

 

[^1]: Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals