다른 수도 가능할까요?

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이 수는 $2$의 지수를 이용해 다시 자기 자신을 만드는 수입니다.

$$\sqrt{2^{{{{6^2}^1}^4}^4}}=262144$$

 

이러한 조건을 만족하는 수는 찾기 어렵지만 $7$진법에 대해서는 $3^6$이

$$\begin{align}
\sqrt {3^6} &= 36_{(7)}\\
27 &= 3 \times7+6
\end{align}
$$

 

$35$진법에 대해서는 $6^6$이

$$
\begin{align}
\sqrt{6^6} &= 66_{(35)}\\
216 &= 6 \times 35 +6
\end{align}$$

성립한다고 알려져 있습니다.

 

$$
\sqrt{2^{{{{6^2}^1}^4}^4}} = 2^{18} = 262144
$$

 

$10$진법에 대해서는 밑이 $2$인 경우 $2^{30000}$까지 검색해도 이러한 조건을 만족하는 수는 없었는데요. 앞으로도 없을까요?

 

$$\begin{align}
\sqrt{2^A} &= 2A_{(11)}\\
32 &= 2 \times 11 + 10
\\
\\
\sqrt{2^C} &= 2C_{(26)}\\
64 &= 2 \times 26 + 12
\end{align}$$