0으로 나누는 2가지 방법: 군, 환, 체

이전 글에서 $0$으로 나누는 것은 정의되지 않는다고 했습니다. 수학의 기본적인 규칙과 원칙을 유지하기 위하여 금지해 놓은 것이죠. 그런다면 규칙과 원칙만 유지할 수 있다면 $0$으로 나누어도 괜찮을까요? 결론부터 말씀드리면 일반적이지 않지만 가능하게할 수 있습니다. 왜 이렇게 애매하게 말하냐면 이 영상을 다 보시면 이해가 되시겠지만 정말 특수한 경우에만 성립하기 때문입니다. 제목만 보고 $0$으로 나누는게 가능하다고 생각하시면 절대 안된다는 점을 미리 말씀드리겠습니다. 우선 $0$으로 나누기 위해서는 $0$으로 나눌 수 없었던 상황에서 출발해야합니다. $0$으로 나눌 수 없었던 이유를 적절히 제거하기 위해서죠. 따라서 이전 글을 안보신 분이 있다면 꼭 먼저 보고 이 글을 보시기 추천드립니다.

 

연산을 보기 전에

$0$으로 나누기 전에 먼저 나눗셈이라는 연산에 대해 명확히 정의할 필요가 있습니다. 따라서 연산에 대한 대수적 구조를 이해해기 위해 대수학의 기본적인 구조인 군(Group), 환(Ring), 체(Field)에 대해 먼저 알아보겠습니다.

 

군(Group)

군은 연속적인 대칭성을 연구하는 데 있어 기본적인 구조입니다. 군은 여러 가지 수학적 대상들의 대칭성을 공통적인 관점에서 바라볼 수 있게 해주므로, 복잡한 구조나 대상을 단순화하여 연구할 수 있는 도구가 됩니다.

군의 정의

군 $<G,>$ 는 이항연산 $$ 아래에 닫혀있고, 다음 공리를 만족하는 집합 G를 의미합니다.

1. 결합 법칙: 모든 $a,b,c\in G$에 대하여 $(a\ast b)\cdot c=a\ast (b\ast c)$이다.
2. 항등원 존재: 어떤 원소 $e\in G$가 존재하여, 모든 $a\in G$에 대하여 $e\ast a=a\ast e=a$이다.
3. 역원 존재: 모든 $a\in G$에 대하여, $a$의 역원이라는 원소 $a^{-1}\in G$가 존재하여 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$이다.

쉽게 말해 집합 $G$와 이항연산 $\ast$에 대해 연산한 결과가 다시 집합에 있을 때 결합법칙을 만족하고 모든 원소에 대해 항등원, 역원이 존재하면 군이라 부릅니다. 각 조건들에 대해 자세히 알아보죠.

 

닫혀 있다.(closed under)

닫혀 있다이란 집합 내의 원소들 간의 연산 결과가 그 집합 내에 포함되어 있는 것을 의미합니다.

 

$$\mathrm{\forall }a,b\in G,a\ast b\in G$$

 

그리고 이항 연산은 두 개의 입력을 받아 하나의 결과를 출력하는 연산을 의미합니다. 일반적으로 두 수의 덧셈이나 곱셈이 이에 해당하죠.

 

$$\ast :S\times S\to S$$

 

수식으로 보면 이해가 잘 되지 않으므로 예를 들어보겠습니다. 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 덧셈 연산에 대해 닫혀있을까요?

 

$$\begin{array}{rl}3+5& =8\\ 10+20& =30\\ 123+654& =777\end{array}$$

 

위의 예시에서 볼 수 있듯이, 두 자연수의 덧셈 결과는 항상 자연수입니다. 따라서 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 덧셈 연산에 대해 닫혀있습니다. 그렇다면 뺄셈 연산에 대해서는 어떨까요?

 

$$\begin{array}{rl}5-3& =2\\ 3-5& =-2\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rlr}5-3& =2\in \mathbb{N}3-5& =-2\notin \mathbb{N}\end{array}$$

 

두 번째 예시에서 볼 수 있듯이, 두 자연수의 뺄셈 결과가 음수가 될 수 있으므로 자연수 집합에서의 뺄셈 연산의 결과가 항상 자연수 집합에 포함되는 것은 아닙니다. 따라서 자연수 집합은 뺄셈 연산에 대해 닫혀있지 않습니다.

 

결합법칙(associative property)

결합법칙은 이항 연산$\ast$에 대하여 세 개 이상의 수를 연산할 때 괄호는 어떤 형태로든 삽입될 수 있으며 그러한 계산의 결과는 항상 같다는 것을 의미합니다. 수학적으로 표현하면, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$$

 

일반적으로 덧셈과 곱셈은 결합법칙이 잘 성립합니다.

 

$$\begin{array}{rl}(a+b)+c& =(2+3)+4=5+4=9\\ a+(b+c)& =2+(3+4)=2+7=9\\ \\ (a\times b)\times c& =(2\times 3)\times 4=6\times 4=24\\ a\times (b\times c)& =2\times (3\times 4)=2\times 12=24\end{array}$$

 

고등학교 과정에서는 잘 다루지 않지만 벡터의 외적이나 테트레이션 등은 일반적으로 결합법칙이 성립하지 않습니다.

• $\overrightarrow{a}=(1,2,3)$
• $\overrightarrow{b}=(4,5,6)$
• $\overrightarrow{c}=(7,8,9)$

$$\begin{array}{r}(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=(-3,6,-3)\times (7,8,9)=(78,6,-66)\\ \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(1,2,3)\times (-3,6,-3)=(-24,-6,12)\end{array}$$

 

항등원(Identity Element)

항등원은 어떤 집합에서 주어진 이항 연산을 수행했을 때, 그 원소의 값을 변화시키지 않는 것을 의미합니다.

 

$$\mathrm{\forall }a\in G,a\ast e=e\ast a=a$$

 

요새는 항등원과 역원을 학교에서 가르치지 않아 생소한 개념일 수 있습니다. 예를 들어보죠. 정수 집합에 대해 덧셈 $⟨\mathbb{Z},+⟩$의 항등원은 무엇일까요? 예를들어 $3$에 몇을 더해야 다시 $3$이 나올까요? 당연하게 $0$입니다. 이는 $3$이 아니라 다른 수로 바꿔보아도 항상 성립하는 성질입니다.

 

$$\begin{array}{r}3+e=e+3=3\\ n+0=0+n=n\end{array}$$

 

따라서 정수에서 덧셈의 항등원은 $0$입니다. 그렇다면 정수에서 곱셈$⟨\mathbb{Z},\times ⟩$의 항등원은 무엇일까요? 쉽게 생각해 $3$에 얼마를 곱해야 다시 $3$이 나올까요? 너무 쉽죠? $1$입니다. 다른 수로 바꿔도 항상 같죠.

 

$$\begin{array}{r}3\times e=e\times 3=3\\ n\times 1=1\times n=n\end{array}$$

 

이처럼 $0$과 $1$은 각각 덧셈과 곱셈의 항등원입니다.

 

역원(Inverse)

역원은 어떤 집합에서 주어진 이항 연산을 수행했을 때, 그 원소와 항등원을 만드는 원소를 의미합니다.

$$\mathrm{\forall }a\in G,\mathrm{\exists }x\in G,a\ast x=x\ast a=e$$

여기서 $e$는 해당 연산의 항등원입니다. 예를 들어 덧셈에서의 역원은 어떤 수에 더해 항등원인 $0$을 만드는 수를 의미합니다. 정수 집합에 대해 덧셈 $⟨\mathbb{Z},+⟩$의 역원을 살펴보겠습니다.

$3$에 어떤 수를 더해야 $0$이 나올까요? $-3$입니다. 수에서 덧셈의 역원은 그 수의 음의 값을 의미합니다.

 

$$\begin{array}{rl}3+x& =x+3=0\\ n+(-n)& =(-n)+n=0\end{array}$$

 

그렇다면 곱셈의 역원을 어떨까요? 곱셈에서의 역원은 어떤 수에 곱해 항등원인 $1$을 만드는 수를 의미합니다. 실수 집합에 대해 곱셈 $⟨\mathbb{R},\times ⟩$의 역원을 살펴보겠습니다.

 

$$\begin{array}{rl}3\times x& =x\times 3=1\\ a\times \frac{1}{a}& =\frac{1}{a}\times a=1\end{array}$$

 

$3$에 어떤 수를 곱해야 $1$이 나올까요? $\frac{1}{3}$입니다. $3$을 임의의 수 $a$로 바꾸면 어떻게 될까요? $\frac{1}{a}$이 역원이 될 것입니다. 따라서 덧셈에서의 역원은 그 수의 음의 값이고, 곱셈에서의 역원은 그 수의 역수라고 생각하면 편합니다.

 

군의 예시

이제 군의 성질을 배웠으니 군이 되는 수 체계를 찾아보겠습니다.

정수 집합에서의 덧셈 연산은 $⟨\mathbb{Z},+⟩$ 군을 만족할까요? 정수는 덧셈에 대해 닫혀있으며, 결합법칙이 성립합니다. 그리고 덧셈에서 항등원인 $0$과 역원인 음수가 존재하므로 군(group)이라할 수 있습니다.

 

$$\begin{array}{rl}& a+b\in \mathbb{Z}\\ & (a+b)+c=a+(b+c)\\ & a+0=0+a=a\\ & a+(-a)=(-a)+a=0\end{array}$$

 

그렇다면 정수 집합에서의 곱셈 연산은 $⟨\mathbb{Z},\times ⟩$을 만족할까요? 정수는 곱셈에 대해 닫혀있으며, 결합법칙이 성립합니다. 그리고 곱셈에서 항등원인 $1$도 존재하죠. 그러나 곱셈의 역원인 역수가 항상 다시 정수가 되는 것은 아닙니다. 따라서 정수 집합에서의 곱셈 연산은 군(group)이 아닙니다.

 

$$\begin{array}{rl}& a\times b\in \mathbb{Z}\\ & (a\times b)\times c=a\times (b\times c)\\ & a\times 1=1\times a=a\\ & a\times \frac{1}{a}=1,\frac{1}{a}\notin \mathbb{Z}\end{array}$$

 

가환군(Abelian group) †

앞서 말한 성질을 만족하는 것을 군이라고 했습니다. 하지만 군의 성질 중에 결합법칙은 있지만 교환법칙은 없습니다. 군을 정의할 때 교환법칙까지 만족할 필요는 없죠. 만약 군이 교환법칙까지 만족하면 가환군(Abelian group)이라 합니다.

 

$$a\cdot b=b\cdot a$$

 

앞서 본 덧셈과 곱셈은 교환법칙이 잘 정의되어 가환군이라 할 수 있습니다. 하지만 행렬곱셈 아래 모든 가역 $n\times n$ 행렬들로 이루어진, $⟨M_n(\mathbb{R}),\cdot ⟩$은 군을 이루지만

$$\begin{array}{rl}& \text{det}(A\cdot B)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)\\ & (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)\\ & A\cdot I=I\cdot A=A\\ & A{A}^{-1}=A^{-1}A=I\end{array}$$

행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않으므로 가환군이라 할 수 없습니다.

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
$$AB=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]=BA$$

 

환(Ring)과 체(Field)

군은 하나의 연산에서만 정의하지만 우리는 초등학교 이후로 계속 덧셈과 곱셈의 두 개의 연산을 주로 사용하였습니다. 그리고 이러한 연산에 대해 정리한 것을 보고 환(Ring)이라 합니다.

환의 정의

환 $⟨R,+,\cdot ⟩$은 두 이항연산 $+$와 $\times$ 아래에 닫혀있고, 다음 공리를 만족하는 집합 $R$을 의미합니다.

1. 덧셈에 대한 가환군 : $⟨R,+⟩$은 아벨군(abelian group)이다.
2. 곱셈에 대한 반군 : 곱셈은 결합법칙을 만족한다.
3. 분배법칙 : $\mathrm{\forall }a,b,c\in R$에 대하여, $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$, $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

환에서 특별한 점은 곱셈에 대해서는 반군(Semi Group)이므로 항등원과 역원이 존재하지 않아도 됩니다. 만약 환에서 곱셈에 대해 항등원과 역원이 존재하면 체(Field)라고 부릅니다.

 

체의 정의

체 $⟨F,+,\cdot ⟩$는 환 $⟨R,+,\cdot ⟩$이면서 추가적인 성질을 만족하는 대수적 구조입니다.

4. 곱셈에 대한 항등원 존재: 어떤 원소 $1\in F$가 존재하여, 모든 $a\in F$에 대하여 $1\cdot a=a\cdot 1=a$이다.
5. 곱셈에 대한 역원 존재: $0$이 아닌 모든 $a\in F$에 대하여, $a$의 곱셈 역원이라는 원소 $a^{-1}\in F$가 존재하여 $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1$이다.

체는 덧셈에 대해 아벨 군을 형성하고, $0$을 제외한 원소들은 곱셈에 대해서도 역시 아벨 군을 형성하는 구조입니다. 체가 조건이 많아 복잡해보이긴 하지만 생각해보면 우리가 일상적으로 제일 많이 쓰는 숫자 체계입니다. 예를들어 유리수나 실수, 복소수 모두 덧셈과 곱셈에 대해 연산이 자유롭고 분배법칙도 성립하므로 체입니다.

유리수의 집합 Q는 체다.

1. 덧셈에 대한 가환군

• 닫힘: $\mathrm{\forall }a,b,c,d\in \mathbb{Z},b\ne 0,d\ne 0,\mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{Z},y\ne 0:\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{x}{y}$
• 교환법칙: $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q}:a+b=b+a$
• 결합법칙: $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{Q}:(a+b)+c=a+(b+c)$
• 항등원 존재: $\mathrm{\exists }0\in \mathbb{Q}:\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},a+0=a$
• 역원 존재: $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},\mathrm{\exists }b\in \mathbb{Q}:a+b=0$2. 곱셈에 대한 반군
• 닫힘: $\mathrm{\forall }a,b,c,d\in \mathbb{Z},b\ne 0,d\ne 0,\mathrm{\exists }x,y\in \mathbb{Z},y\ne 0:\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{x}{y}$
• 결합법칙: $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{Q}:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$3. 분배법칙
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{Q}:a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{Q}:(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$4. 곱셈에 대한 항등원 존재
• $\mathrm{\exists }1\in \mathbb{Q}:\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},1\cdot a=a$5. 곱셈에 대한 역원 존재
• $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Q},a\ne 0,\mathrm{\exists }b\in \mathbb{Q}:a\cdot b=1$

실수의 집합 R는 체다.

1. 덧셈에 대한 가환군

• 닫힘: $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }c\in \mathbb{R}:a+b=c$
• 교환법칙: $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R}:a+b=b+a$
• 결합법칙: $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{R}:(a+b)+c=a+(b+c)$
• 항등원 존재: $\mathrm{\exists }0\in \mathbb{R}:\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R},a+0=a$
• 역원 존재: $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }b\in \mathbb{R}:a+b=0$2. 곱셈에 대한 반군
• 닫힘: $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }c\in \mathbb{R}:a\cdot b=c$
• 결합법칙: $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{R}:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$3. 분배법칙
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{R}:a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{R}:(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$4. 곱셈에 대한 항등원 존재
• $\mathrm{\exists }1\in \mathbb{R}:\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R},1\cdot a=a$5. 곱셈에 대한 역원 존재
• $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R},a\ne 0,\mathrm{\exists }b\in \mathbb{R}:a\cdot b=1$

 

사칙연산

여기서 나눗셈이란 연산에 대해 생각할 필요가 있습니다. 앞서 대수 연산을 보면 환과 체는 모두 덧셈과 곱셈에서만 정의했습니다. 우리는 기본적인 연산이 사칙연산이라고 생각하는데 왜 덧셈과 곱셈만으로 연산을 한정해두었을까요? 앞서 보았듯이 뺄셈과 나눗셈은 집합의 원소로 대체할 수 있기 때문입니다. 뺄셈은 덧셈의 역원을 이용하여 표현될 수 있고, 나눗셈은 곱셈의 역원을 이용하여 표현될 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q},\mathrm{\exists }c\in \mathbb{Q}:c+b=a\\ & \therefore a-b=c\\ \mathrm{\&}\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q},b\ne 0,\mathrm{\exists }c\in \mathbb{Q}:c\cdot b=a\\ & \therefore \frac{a}{b}=c\end{array}$$

이렇게 함으로써 덧셈과 곱셈의 성질만을 이용하여 뺄셈과 나눗셈의 성질을 파악할 수 있으므로 굳이 뺄셈과 나눗셈을 정의할 필요는 없죠. 이는 대수학의 효율성과 일관성을 높입니다. 그러므로 덧셈과 곱셈이 정의된 환에서 나눈다는 개념은 보면 곱셈에 대한 역원이 존재하는가를 묻는 질문으로 바뀌게 됩니다.

예를 들어 보죠. $4÷2=2$라는 식은 나눗셈 연산을 곱셈 연산으로 바꾸면서 역수 다른말로 곱셈에 대한 2의 역원을 이용해 식을 바꿀 수 있습니다.

$$4\times \frac{1}{2}=2$$

이때, $2$의 역원은 즉 $2^{-1}$는 우리가 흔히 $1$을 $2$로 나눈 수라고 볼 수 있죠. 일반화하면 다음과 같이 적을 수 있습니다.

$$\begin{array}{r}a\times \frac{1}{a}=1\\ a\times a^{-1}=1\\ \therefore a^{-1}=\frac{1}{a}\end{array}$$

$1$을 곱셈에 대한 항등원이라할 때, $a$라는 원소에 같은 연산을 한 결과가 서로 같으므로 두 값이 같다고 보는거죠. 이러한 논리라면 $\frac{1}{0}$은 곱셈에 대한 $0$의 역원을 찾는 것이라 할 수 있습니다. 물론 앞서 환과 체에 대해 설명할 때, $0$이 아닌 원소에 대해서만 역원을 정의했지만 그래도 백번 양보해서 찾아보면 어떻게 될까요?

영환(Zero Ring)

대부분의 환은 곱셈의 항등원으로 $1$을 가지고 있지만, 원소가 $0$ 하나뿐인 집합 $0$은 조금 색다릅니다. $0$으로만 이루어진 집합$0$에 다음과 같이 연산을 정의하면 덧셈에 대해 아벨군을 이루고 곱셈에 대해 반군을 이루므로 환의 조건을 만족합니다.

$$\begin{array}{rlr}& 0+0=0& 0\times 0=0\end{array}$$

이를 영환(zero ring)이라 부릅니다. 영환의 유일한 원소 $0$은 덧셈의 항등원이자 곱셈의 항등원입니다. 그리고 이 환은 덧셈의 항등원이 곱셈의 항등원이 되는 유일한 경우죠. 이 환의 특별한 점은 $1$이 아니라 $0$이 곱셈의 항등원이라는 것입니다. 따라서 앞서 정의한 논리로 비추어 보아 $0$의 곱셈의 대한 역원 즉, $0^{-1}=0$이 되죠. 굳이 앞선 표현을 빌려와 적자면 $\frac{0}{0}=0$이라 할 수 있습니다.

영환은 매우 특별한 경우로 $0$으로 나누는 것을 강제로 정의할 수 있지만, 이는 일반적인 수학적 문제를 해결하는 데 도움이 되지 않습니다. 왜냐하면 우리가 일반적으로 연산에서 사용하는 체에서는 $0$의 역원이 정의되지 않으며, 어떤 특정한 값을 갖지 못하기 때문입니다. 따라서 이러한 정의는 수학적으로 영환이 갖는 특징 이외에는 별다른 큰 의미가 없습니다.

0으로 나누면 무한대?

앞선 설명에서 어떤 수를 $0$으로 나누는 것을 무한대로 정의하는 것도 한계가 있다고 했습니다. 왜냐하면, 극한의 개념으로 보았을 때, 무한대라는 개념이 수라고 가정한다해도 두 값의 부호차이가 생기기 때문이죠.

$$\begin{array}{rl}1÷\frac{1}{10}& =10\\ 1÷\frac{1}{100}& =100\\ 1÷\frac{1}{1000}& =1000\\ ⋮\\ 1÷0& =\mathrm{\infty }\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}1÷-\frac{1}{10}& =-10\\ 1÷-\frac{1}{100}& =-100\\ 1÷-\frac{1}{1000}& =-1000\\ ⋮\\ 1÷0& =-\mathrm{\infty }\end{array}$$

양의 무한대와 음의 무한대가 같지는 않으니까요.

$$\mathrm{\infty }\ne -\mathrm{\infty }$$

그런데, 강한 부정은 강한 긍정이라하고 극과 극은 만난다고 하던데 어차피 발산한다는 개념은 같으니까 양의 무한대와 음의 무한대를 그냥 같다고 하면 안될까요?

 

One-Point Compactification

우리가 살고 있는 세계는 끝이 없는 공간처럼 느껴질 수 있습니다. 하지만 수학에서는 이 무한한 공간을 한정된 형태로 다루는 것을 통해 복잡한 문제를 단순화할 수 있습니다. 여기서 일대일 대응을 이용해보겠습니다. 일대일 대응은 두 집합 사이의 원소들이 정확히 하나씩 대응하는 것을 의미하며 이 관계를 이용하면 '수'라는 개념을 이용하지 않고도 '같다'라는 개념을 수학적으로 정의할 수 있죠. 그리고 이러한 개념은 유한집합뿐만 아니라 무한에서도 사용할 수 있습니다.

먼저, 실수 집합을 무한한 길이를 가진 직선으로 생각해보겠습니다. 이 직선은 양 끝이 열려 있으므로 유한하지 않습니다. 이 선을 쉽게 $x$축이라 하겠습니다. 이제 $(0,0)$를 중심으로 하고 반지름이 $1$인 원을 그려보겠습니다. 그 후에 원의 가장 위에 있는 점$(0,1)$에서 레이저가 있다고 생각하고, 원 위의 임의의 점을 쏴보겠습니다. 레이저가 원 위의 한 점을 비출 때 레이저는 반드시 $x$축에 만나게 됩니다. 그리고 레이저는 일직선으로 나아가기 때문에 원 위의 한 점과 $x$축 위의 한 점은 일대일 대응이 됩니다. 따라서 원에서 레이저 포인트를 쏘는 곳을 제외한 것은 수직선과 모양만 다를뿐 같다고 할 수 있죠.

$$\mathbb{R}\cong S^1-P(0,1)$$

One-point compactification

직선의 방정식을 찾는 과정

원 위의 점 $A$는 매개변수 방정식을 이용하여 $A(\cos \theta ,\sin \theta )$ 나타낼 수 있습니다. $A$와 $P(0,1)$을 지나는 방향벡터는 $\overrightarrow{PA}(\cos \theta ,\sin \theta -1)$이므로 손쉽게 $\overrightarrow{PA}$의 법선 벡터를 $\overrightarrow{n}(1-\sin \theta ,\cos \theta )$라 두겠습니다. 직선 위의 임의의 한 점을 $Q(x,y)$라 두면, 법선벡터$\overrightarrow{n}$와 $\overrightarrow{PQ}$는 수직이므로 직선의 방정식은
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{PQ}& =(1-\sin \theta ,\cos \theta )\cdot (x,y-1)\\ & =(1-\sin \theta )x+\cos \theta (y-1)=0\end{array}$$
라 할 수 있습니다. 마지막으로 수직선 위의 점 $t$는 이 $x$축 위의 점이므로 $y=0$을 대입한 후 $x$좌표를 찾으면 $t=\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }$입니다. 처음에 $A(\cos \theta ,\sin \theta )$라 했으므로 $x=\cos \theta ,y=\sin \theta$로 바꾸어 식을 정리하면 $t=\frac{x}{1-y}$라는 식을 얻을 수 있습니다.

이 방법을 이용하면 무한한 직선을 평면에 있는 원 안에 가둘 수 있습니다. 여기서 한 발 더 나가보죠. 원에서 한 점을 뺀 이 집합은 유계이지만 닫혀있다고 할 수 는 없습니다. 우리가 편하게 이 대상을 조작하고 싶은데 구멍이 나있으면 사용하기 불편하죠. 따라서 두 집합에 각각 한 점씩을 추가하여 이 원을 닫아보겠습니다. 원에서는 구멍을 막기 위해 $P(0,1)$을 추가하고 수직선에서는 더 이상 추가할 만한 점이 없으니 편의상 $P$에 대응되는 점으로 $\mathrm{\infty }$이렇게 생긴 점을 추가하겠습니다. 그렇다면 대응관계를 유지한채 수직선에 한 점을 추가하여 원을 만들 수 있습니다.

 

$$\mathbb{R}\cup \mathrm{\infty }\cong S^1$$

 

Wheel Theory

무한대라는 한 점을 추가하여 원을 만드는 방식으로 실수체를 확장하면 $0$으로 나누는 것이 가능할까요? 한 점 컴팩트화까지 보면 "$0$으로 나누면 $\mathrm{\infty }$"겠네 라고 생각하기 쉽지만 아직은 아닙니다. $1÷0=\mathrm{\infty }$라고 마구잡이로 설정하는 것은 연산이라 할 수 없습니다. 우리가 처음 군, 환, 체에서 보았듯이 $0$으로 나눈다는 것을 연산이라 정의한다면 그 연산이 군, 환, 체 중 어떤 것에 해당되는지 또 연산이 잘 정의되어 있는지 확인해야하죠. 이러한 논의를 담아 다음과 같이 연산을 정의해보겠습니다.

 

$$\begin{array}{rl}0& =(0,1)\\ 1& =(1,1)\\ (a,b)+(c,d)& =(ad+bc,bd)\\ (a,b)(c,d)& =(ac,bd)\\ /(x,y)& =(y,x)\end{array}$$

 

$0$으로 나누기에 앞서 나눈다는 개념을 분수가 아니라 순서쌍을 이용해 바꾸어 본 것입니다. 분모가 아니라 순서쌍의 두번째 원소로 바꾼거죠. 쉽게말해 $\frac{1}{0}=(1,0)$으로 두어 거부감을 줄이면서 우회하는 것입니다. 이렇게 두면 우리가 흔히 사용하는 유리수에서의 연산을 표현할 수 있습니다. 하지만 이 연산에서 다음과 같은 문제가 하나 생깁니다.

 

$$\begin{array}{rl}/(1,0)=(0,1)& =0\\ /(0,0)=(0,0)& \ne 0\end{array}$$

 

우리 마음 속에서는 $0$으로 나눈 것을 $\mathrm{\infty }$라 하자고 몰래 다짐을 해보겠습니다. 그렇다면 $(1,0)$에서 흔히 역수 연산이라 불리는 연산으로 순서쌍의 위치를 바꾸어 $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$이 나오지만, $(0,0)$은 역수 연산을 해도 그대로죠. 결과적으로 $(1,0)$과 $(0,0)$을 같다라고 둘 수 없는 상황이 생깁니다. 따라서 특별히 $(0,0)$이라는 원소를 확장된 실수집합에 더 추가할 필요성을 느껴 다시 한 번 실수를 확장하면 그림과 같이 원과 가운데 한 점을 그린 모양이 생기게 됩니다.

 

$$H=S^1\cup (0,0)$$

 

이 모양이 마치 바퀴 같이 생겼다고 해서 흔히 이 개념을 wheel이라 부릅니다. 이 집합이 어떻게 구성되어있는지 자세히 알아보도록 하겠습니다. 우선 $H$는 교환법칙이 성립하는 모노이드(monoid) 입니다. 모노이드란 군이 만족해야할 4가지 성질 중 역원이 없어도 되는 애들을 의미합니다. 반군 보다는 조건이 강하지만 군보다 조건을 더 완화한 개념이죠. 또한 곱셈에 대해서도 교환법칙이 성립하는 모노이드이며 전치 치환자를 갖습니다. involution은 생김새와 같이 역수와 같은 역할을 하는데 여기서 굳이 전치치환자라는 용어를 쓰는 이유는 한 원소에 대해 두 번 연산하면 다시 자기자신이 나오게 하는 역할을 하기 때문입니다. 이렇게 덧셈과 곱셈을 정의할 때 분배법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있고 $0$을 포함하는 식은 다음과 같은 규칙에 의해 계산할 수 있습니다.

 

 

이렇게 연산의 구조를 정의하면 $0$으로 나누는 것이 형식적으로 가능하게 됩니다. 다만 $0$이 아닌 원소를 $0$으로 나누는 것과, $0$을 $0$으로 나누는 것을 다르게 정의해야 하지만요. 이해하기 쉽게 $1/0=\mathrm{\infty }$라 하고, $0/0=\mathrm{\perp }(\text{Bottom Symbol})$이라 하겠습니다. 이 기호는 흔히 '하한 기호'라고 불리는 기호로 순서위상에서 가장 작은 원소를 나타내거나 논리학에서 거짓을 나타내는 논리 상수입니다. $0/0$은 '부정'이라 정의되어 있지 않고, 실수체에 포함되어있지 않은 독립적인 개체이므로 이러한 기호를 쓰는 것이 적절하다고 생각합니다.

 

이제 바퀴모양의 집합을 $H$라 할 때, 각 원소들의 연산결과는 다음과 같습니다.

 

덧셈 연산 표

 

$$\begin{array}{ccccc}+& a& 0& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }\\ a& a+a& a& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }\\ 0& a& 0& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }\\ \mathrm{\infty }& \mathrm{\infty }& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }\\ \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}a+a& =(a,1)+(a,1)=(a\cdot 1+1\cdot a,1\cdot 1)=(2a,1)=2a\\ a+0& =(a,1)+(0,1)=(a\cdot 1+1\cdot 0,1\cdot 1)=(a,1)=a\\ a+\mathrm{\infty }& =(a,1)+(1,0)=(a\cdot 0+1\cdot 1,1\cdot 0)=(1,0)=\mathrm{\infty }\\ a+\mathrm{\perp }& =(a,1)+(0,0)=(a\cdot 0+1\cdot 0,1\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ 0+a& =(0,1)+(a,1)=(0\cdot 1+1\cdot a,1\cdot 1)=(a,1)=a\\ 0+\mathrm{\infty }& =(0,1)+(1,0)=(0\cdot 0+1\cdot 1,1\cdot 0)=(1,0)=\mathrm{\infty }\\ 0+\mathrm{\perp }& =(0,1)+(0,0)=(0\cdot 0+1\cdot 0,1\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ \mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }& =(1,0)+(1,0)=(1\cdot 0+0\cdot 1,0\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ \mathrm{\infty }+\mathrm{\perp }& =(1,0)+(0,0)=(1\cdot 0+0\cdot 0,0\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ \mathrm{\perp }+\mathrm{\perp }& =(0,0)+(0,0)=(0\cdot 0+0\cdot 0,0\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\end{array}$$

 

곱셈 연산 표

 

$$\begin{array}{ccccc}\cdot & a& 0& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }\\ a& a\cdot a& 0& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }\\ 0& 0& 0& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }\\ \mathrm{\infty }& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\infty }& \mathrm{\perp }\\ \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }& \mathrm{\perp }\end{array}$$

 

$$\begin{array}{rl}a\cdot a& =(a,1)\cdot (a,1)=(a\cdot a,1\cdot 1)=(a^2,1)=a^2\\ a\cdot 0& =(a,1)\cdot (0,1)=(a\cdot 0,1\cdot 1)=(0,1)=0\\ a\cdot \mathrm{\infty }& =(a,1)\cdot (1,0)=(a\cdot 1,1\cdot 0)=(a,0)=\mathrm{\infty }\\ a\cdot \mathrm{\perp }& =(a,1)\cdot (0,0)=(a\cdot 0,1\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ 0\cdot a& =(0,1)\cdot (a,1)=(0\cdot a,1\cdot 1)=(0,1)=0\\ 0\cdot \mathrm{\infty }& =(0,1)\cdot (1,0)=(0\cdot 1,1\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ 0\cdot \mathrm{\perp }& =(0,1)\cdot (0,0)=(0\cdot 0,1\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ \mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }& =(1,0)\cdot (1,0)=(1\cdot 1,0\cdot 0)=(1,0)=\mathrm{\infty }\\ \mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\perp }& =(1,0)\cdot (0,0)=(1\cdot 0,0\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\\ \mathrm{\perp }\cdot \mathrm{\perp }& =(0,0)\cdot (0,0)=(0\cdot 0,0\cdot 0)=(0,0)=\mathrm{\perp }\end{array}$$

 

이렇게 연산을 정의하면 우리가 평소 생각하는 무한대를 이용한 연산과 생각보다 잘 맞아 떨어집니다. 물론 몇가지 이상한 점도 있습니다. 예를 들어 $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=\mathrm{\perp }$이지만, $\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$인 것처럼 말이죠. $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=2\cdot \mathrm{\infty }$ 이고, $\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }={\mathrm{\infty }}^2$라 생각하면 $2\cdot \mathrm{\infty }$보다 ${\mathrm{\infty }}^2$이 더 이상한데 말이죠. 여기서 우리는 편견을 극복해야합니다.

$2$라는 수는 수의 의미보다는 여기서 두 번 연산을 수행했다는 의미로서 작용합니다. 따라서 $a+a=2a$라고 쓰는 것은 우리들의 약속인 것이죠. 앞서 보았듯 이 연산체계는 형식적으로 정의되어 있으며 부정형을 도입함으로써, 연산의 완결성을 달성할 수 있습니다. 즉, 모든 가능한 입력에 대해 연산의 결과를 정의할 수 있게된거죠.
따라서 이는 수학적 일관성을 유지하면서 일반적인 수학에서 다루기 어려운 문제를 분석하는데 응용하기 위한 정의로 부터 얻어낸 성질이라 해석하시면 좋을 것 같습니다.

 

에필로그

앞서 보았듯 원소를 제한하거나 추가하는 방식으로 $0$으로 나누는 과정을 보았습니다. 이러한 논의는 우리가 일상생활에서 사용하는 실수체에서는 당연히 성립하지 않는 결과입니다. 그래서 대수를 공부하는 상황이 아니라면 굳이 $0$으로 나누는 상황을 고려하지 않아도 됩니다. 관련 논문은 블로그에 첨부해두었습니다. 관련 논문을 다 이해하신게 아니라면 괜히 어디가서 $0$으로 나눌 수 있다고 말하고 다니시지 말기를 간곡히 부탁드립니다. 다만 이 글을 읽으시고 이렇게 연산을 엄밀하게 정의하는 과정에서 수학이 한 단계 더 발전될 수 있구나 정도만 알아주셨으면 좋겠습니다. 저는 간만에 대수 공부를 했더니 더 이상은 $0$으로 나누기 싫어지네요.

 

참고자료

• Wheels On Division by Zero
• Exact real arithmetic using Mobius transformations
• A New Representation for Exact Real Numbers