On Non-Computable Functions 이 논문에서 제시하는 계산 불가능한 함수의 구성은 유한하고 비어 있지 않은 음이 아닌 정수 집합에는 가장 큰 원소가 존재한다는 원칙에 기초하고 있다. 또한 이 원칙은 현재 기준으로 매우 명확하게 정의된 집합에 대해서만 사용된다. 계산 가능한 함수의 나열을 사용하지 않으므로, 이 구성에서 대각선화 방법(diagonal process)을 사용하지 않는다. 따라서 모든 수학 분야에서 자명하게 여겨지는 원칙이 비구성적 존재를 도출해낸다는 사실이 흥미롭다. I. 서론이 논문의 목적은 몇 가지 매우 간단한 계산 불가능한 함수의 예를 제시하는 것이다. 이러한 예들은 단순함을 넘어서 중요한 점을 조명해준다. 함수 $f(x)$가 계산 불가능한 함수의 예로 사용되기 위해서..

How the Slowest Computer Programs Illuminate Math’s Fundamental Limits | Quanta Magazine How the Slowest Computer Programs Illuminate Math’s Fundamental LimitsThe goal of the “busy beaver” game is to find the longest-running computer program. Its pursuit has surprising connections to some of the most profound questions and concepts in mathematics.www.quantamagazine.org "바쁜 비버" 게임의 목표는 가장 오래 실행되는..

Amateur Mathematicians Find Fifth ‘Busy Beaver’ Turing Machine | Quanta Magazine Amateur Mathematicians Find Fifth ‘Busy Beaver’ Turing Machine | Quanta MagazineAfter decades of uncertainty, a motley team of programmers has proved precisely how complicated simple computer programs can get.www.quantamagazine.org단순한 프로그램이 얼마나 복잡해질 수 있는지, 이제 연구자들이 그 비밀에 다가섰습니다. 약 40년 전, 독일 서부 도시 도르트문트에 수많은 컴퓨터 과학자들..

The ‘Useless’ Perspective That Transformed Mathematics | Quanta Magazine The ‘Useless’ Perspective That Transformed MathematicsRepresentation theory was initially dismissed. Today, it’s central to much of mathematics.www.quantamagazine.org처음에 표현론은 인정받지 못했습니다. 그러나 오늘날, 표현론은 수학의 중심적인 이론으로 자리 잡았습니다. 수학자들은 복잡한 대상을 더 단순한 개념으로 나타냄으로써, 예를 들어 여기 보이는 리 군과 같은 복잡한 구조의 특성을 더 잘 이해할 수 있습니다. 19세기 말에 등장한 표현론은 당..

‘Groups’ Underpin Modern Math. Here’s How They Work. | Quanta Magazine ‘Groups’ Underpin Modern Math. Here’s How They Work. | Quanta MagazineWhat do the integers have in common with the symmetries of a triangle? In the 19th century, mathematicians invented groups as an answer to this question.www.quantamagazine.org 정수와 삼각형의 대칭성에는 어떤 공통점이 있을까요? 19세기 수학자들은 이 질문에 답하기 위해 군이라는 개념을 만들어냈습니다. “수학은 처음에 숫..

수열의 합우리는 고등학교에서 다양한 수열의 합을 구하게됩니다. 이때 $\sum$이란 기호를 처음 배우면서 가장 간단한 거듭제곱 수열들의 합을 유도하는 과정에 대해서 배우게 되죠. $$\begin{align*}\sum_{k=1}^n k &=\frac{n(n+1)}{2}\\\sum_{k=1}^n k^2 &=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\\\sum_{k=1}^n k^3 &=\frac{n^2(n + 1)^2}{4}\end{align*}$$ 그런데 여러분들은 이 식들이 생각보다 매우 규칙적이라는 것을 알고 계셨나요? 오늘은 그 비밀을 함께 풀어보도록 하겠습니다.1부터 $n$까지의 정수의 합우선 가장 쉬운 $\sum_{k=1}^n k$부터 보도록 하겠습니다. 이 식은 흔히 $1$부터 $100$까지..